Diskreetti derivaatta

Abstract

LuK-tutkielmani aiheena on diskreetti derivaatta. Tässä työssä diskreetti funktio tarkoittaa kokonaislukujen osajoukossa määriteltyä funktiota. Derivaatta puolestaan kuvaa funktion kulkua ja sen muutosnopeutta. Diskreeteille funktiolle ei voida käyttää differentiaalilaskennasta tuttua derivaattaa, koska diskreettejä funktioita ei ole määritelty reaalilukuväleillä. Diskreetti derivaatta on siis derivaatan diskreetti analogia. Diskreetillä derivaatalla on myös käytännön sovelluksia, mutta tutkielmassani käsitellään vain abstrakteja tapauksia. Tutkielmani aluksi määritellään diskreetti derivaatta. Lisäksi lasketaan tunnetuille lukujonoille diskreetit derivaatat. Seuraavaksi tutustutaan diskreetin derivaatan ominaisuuksiin. Lisäksi verrataan niitä vastaaviin differentiaalilaskennan derivointisääntöihin. Huomataan, että differentiaalilaskennan ja diskreettien derivaattojen ominaisuuksissa on paljon yhtäläisyyksiä. Kuitenkin esimerkiksi yhdistetyn funktion ja potenssifunktioiden diskreetit derivaatat poikkeavat differentiaalilaskennan derivaatoista. Määritellään järjestetty potenssifunktio, jonka diskreetti derivaatta vastaa tuttua jatkuvan potenssifunktion derivointisääntöä. Lopuksi johdetaan sarjakehitelmiä järjestetylle potenssifunktiolle.