Toisen asteen polynomifunktion graafinen tarkastelu lukion matematiikassa

Abstract

Tämä tutkielma on osa projektia, jossa tuotetaan Lukion uuden opetussuunnitelman 2016 mukainen avoin oppikirja kurssille Polynomifunktiot ja -yhtälöt (MAA2). Kirjan tässä osassa käsitellään toisen asteen polynomifunktiota dynaamisten kuvaajien avulla. Opetusmateriaalissa käsitellään 2. asteen funktion yleinen muoto, huippumuoto ja tekijämuoto sekä mikä näitä muotoja yhdistää. Opetusvälineenä tässä osassa käytetään GeoGebraa.

Oppilaat tutustuvat 2. asteen polynomifunktioon ensimmäistä kertaa aloittamalla käsittelyn sen kuvaajasta. On tarkoituksena, että oppilaat hahmottavat miten polynomifunktion kuvaaja eri muodoissaan käyttäytyy ja mitä siitä voi nähdä sekä miten funktion yhtälöä voi muuntaa muodosta toiseen. Koska osa on yhteinen lyhyen ja pitkän matematiikan opintokokonaisuuksille on oppimateriaalissa tarjolla myös eriyttäviä tehtäviä. Kirjan tämän osan voi käydä läpi kolmessa tai neljässä 75 minuutin pituisessa oppitunnissa.

Oppimateriaalin suunnittelussa on kiinnitetty huomiota LOPS 2016:ta linjauksiin. Kirjan tämä osa tukee opiskelijaa tekemään havaintojensa pohjalta oletuksia ja päätelmiä sekä käyttämään ajattelua tukevia kuvia, piirroksia ja välineitä. Myös opiskelijan taito siirtyä toisesta matemaattisen tiedon esitysmuodosta toiseen kehittyy. Taustalla ovat olleet myös oppikirjaprojektiryhmän kanssa yhteisesti sovitut Habits of mind -periaatteet: oppilaiden tulisi kokeilla matemaattisten tehtävien ratkaisemista eri tavoin ja rohkaista heitä muuttamaan ratkaistavina olevat tehtävät jollain tavoin kuvamuotoon. Oppilaita tulisi myös opettaa itse havaitsemaan matemaattisia säännönmukaisuuksia ja muodostamaan niille kaavoja.

Ongelmalähtöinen opetustapa on otettu huomioon tehtäviä suunniteltaessa: oppilailla tulisi olla jokin kysymys, tai ongelma, johon he haluavat vastauksen ja selvittämällä miten se voisi ratketa he oppivat asian parhaiten. Oppilaille ei siis kannata antaa valmiita kaavoja ja esimerkkiratkaisuja tehtäviin vaan heidän itse olisi saatava johtaa kaavat ja löytää ratkaisut heillä olemassa olevan tiedon perusteella. Näin oppiminen on tehokkaampaa ja oppilaille syntyy taitoa analysoida oppimaansa sekä kykyä liittää opittu asia aiemmin opittuun ja hahmottaa, miten asiat liittyvät toisiinsa. 2. asteen polynomifunktion oppimiseen liittyvissä tutkimuksissa on kiinnitetty huomiota erityisesti siihen, että oppilaat eivät kykene yhdistämään funktiota ja kuvaajaa vaan ne ovat kuin kaksi erillistä asiaa. Kirjan tämä osa tähtää lähestymistavallaan erityisesti paikkaamaan tätä puutetta.

Kirjan tämä osa etenee 2. asteen polynomifunktion yleisen muodon, huippumuodon ja tekijämuodon graafisen tarkastelun kautta muotojen yhdistämiseen ja funktion muokkaamiseen muodosta toiseen. Osa pyrkii antamaan myös pohjaa kirjassa myöhemmin vastaan tuleville asioille ja tehtäville, kuten esimerkiksi neliöön täydentäminen ja 2. asteen epäyhtälö. Kirjan tämän osan läpikäytyään oppilailla on toivottavasti hyvä pohja hahmottaa myös myöhemmissä osissa vastaan tulevien funktion esitystapojen graafista merkitystä ja tarkastella niitä GeoGebralla.

Osa sisältää myös tehtäviä, joissa oppilaat piirtävät käsin paperille 2. asteen funktion kuvaajaa eri esitysmuodoissaan, sekä yhdistävää kaavojen johtoa ja parametrien merkityksen ymmärtämistä tukevia tehtäviä. Lisäksi mukana on muutama tehtävä, joissa oppilaat pääsevät kirjan tässä osassa oppimillaan tiedoilla jo ratkaisemaan heitä ehkä kiinnostavia asioita, kuten pääseekö avaruusalus karkuun tähden voimakentästä ja tornista ylöspäin lyödyn tennispalloon lentorataa. Mukana olevat *tehtävät tarjoavat lisää tietoa funktion muotojen yhteydestä, kaavojen ja niihin liittyvien kuvaajien rakenteesta sekä esitietoja myös kirjan myöhemmissä osissa vastaan tuleville tehtäville.