Hilbertin muunnos ja sen sovelluksia

Abstract

Hilbertin muunnos on integraalimuunnos kuten tunnetut Fourier- ja Laplace-muunnokset. On vaikea sanoa kenen käsialaa muunnos alunperin on, mutta ainakin G. H. Hardy käsitteli sitä täsmällisesti 1900-luvun alkupuolella. Esimerkiksi sinin muunnoskaava tunnettiin jo lähes 100 vuotta aiemmin ja Alfred Tauberin vuoden 1891 julkaisussa esiintyy Hilbertin muunnoksen alkumuotoa. David Hilbert päätyi muunnokseen tutkiessaan yksikkökiekolla analyyttisten funktioiden reaali- ja imaginääriosien yhteyttä. Vuonna 1924 Hardy nimesi muunnoksen Hilbertin muunnokseksi, jona se nykyään tunnetaan.

Tässä tutkielmassa tutustutaan muun muassa Hilbertin muunnoksen määritelmään reaaliakselilla, Cauchyn pääarvointegraalin laskentaan ja todistetaan muutamia muunnoksen perusominaisuuksia. Lisäksi lopussa katsotaan Hilbertin muunnoksen käytännön soveltamista EKG-käyrien analysoinnissa. Lähteenä teoriaosaan käytetään pääsääntöisesti teosta [1] ja sovellusosassa [2]. Lähteinä käytetylle datalle ja datan käsittelyyn tarvittuihin työkaluihin ovat [3] ja [4]. Tutkielman kuvat on pääosin tehty itse käyttäen Matlab-ohjelmaa [5] ja yksi on vapaassa käytössä Wikipediasta.