Ryhmän PSL(2,K) yksinkertaisuus

Abstract

Tutkielmassa on perehdytty lineaarisiin ryhmiin ja erityisesti astetta kaksi olevan projektiivisen erityisen lineaarisen ryhmän kunnan K suhteen, eli ryhmän PSL(2,K), yksinkertaisuuteen. Olennaisena osana tutkielmassa on siis yksinkertaisuus ja ryhmä on määritelmän mukaan yksinkertainen, mikäli sillä on ainoastaan triviaalit normaalit aliryhmät, eli neutraalialkio ja ryhmä itse. Alussa esitellään ryhmäteorian olennaisia peruskäsitteitä ja tarpeellisia peruslauseita, sekä valaistaan hieman matriisiteoriaa 2 x 2 -matriiseille. Näille lauseille ei kuitenkaan esitetä todistuksia, sillä nämä käsitellään enemmänkin perustietona, joihin lukija voi halutessaan perehtyä lähdemateriaalin avulla tarkemmin. Seuraavaksi määritellään tutkielmassa tarpeelliset kolme erilaista lineaarista ryhmää 2 x 2 -matriiseilla. Lineaariset ryhmät ovat matriiseista matriisien välisellä kertolaskulla muodostettuja ryhmiä ja matriisin alkiot ovat kunnan K alkioita. Lineaarisia ryhmiä koskevat lemmat todistetaan käyttäen hyväksi alussa esitettyjä tietoja. Tutkielmassa määriteltävää astetta kaksi olevaa yleistä lineaarista ryhmää kunnan K suhteen, eli ryhmää GL(2,K), ei käsitellä tarkasti. Se on kuitenkin hyödyllinen astetta kaksi olevan erityisen lineaarisen ryhmän kunnan K suhteen, eli ryhmän SL(2,K), määrittelyyn. Ryhmä SL(2,K) muodostuu matriiseista, joiden determinantti on kunnan K ykkösalkio. Pääpainona tutkielmassa on kuitenkin ryhmän SL(2,K) tekijäryhmässä, eli ryhmässä PSL(2,K). Tekijäryhmä muodostetaan ryhmän SL(2,K) keskuksen avulla. Tämän jälkeen keskitytään tutkimaan ryhmän PSL(2,K) yksinkertaisuutta. Aluksi osoitetaan, että mikäli kunnan K kertaluku on 2 tai 3, niin PSL(2,K) ei ole yksinkertainen. Kun kunnan K kertaluku on 2, käytetään hyväksi sopivaa syklistä aliryhmää ja kun kunnan K kertaluku on 3, tehdään ryhmälle PSL(2,K) konjugointiluokkatarkastelu. Tämän jälkeen tehdään merkittävästi laajemmat konjugointiluokkatarkastelut, joiden avulla havaitaan, että ryhmä PSL(2,K) on yksinkertainen, kun kunnan K kertaluku on 4 tai 5. Lopuksi tutkitaan yleistä tapausta käyttäen hyväksi transvektioita ja havaitaan, että ryhmä PSL(2,K) on yksinkertainen, jos ja vain jos kunnan K kertaluku on suurempi kuin kolme. Lopuksi valaistaan ryhmän PSL(m,K) yksinkertaisuutta, kun m. Nyt ei kuitenkaan todisteta enää varsinaisesti mitään, vaan tuloksia esitellään kerronnallisessa muodossa. Esimerkin avulla osoitetaan, miksi ryhmien PSL(2,K) ja PSL(m,K) yksinkertaisuuden osoittaminen ei onnistu samalla metodilla ja siten nämä tulee käsitellä erillisinä tapauksina. Lopussa tavoitteena ei ole perehdyttää lukijaa yleisen tapauksen todistuksiin, vaan valaista, mitä aiheeseen enemmän perehtyvä voi olettaa löytävänsä edestään.