Alternoivien ryhmien ominaisuuksista

Abstract

Tutkielma käsittelee permutaatioryhmiä, erityisesti parillisista permutaatioista koostuvia alternoivia ryhmiä. Sen päätulokset ovat vähintään astetta viisi olevien alternoivien ryhmien yksinkertaisuus sekä permutaatioryhmän ratoihin liittyvä Ei-Burnsiden lemma. Tutkielman pääasiallisina lähteinä käytetyt teokset ovat I. N. Hersteinin "Abstract Algebra" sekä J. F. Humphreysin "A Course in Group Theory". Tutkielman alussa esitellään ryhmäteorian peruskäsitteitä ja -tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin. Tämän jälkeen määritellään permutaatiot sekä niihin liittyvät symmetriset ja alternoivat ryhmät, ja tarkastellaan hieman tarkemmin niiden rakennetta. Seuraavaksi todistetaan permutaatioihin ja alternoivaan ryhmään liittyviä esitietoja, ja sen jälkeen osoitetaan alternoivan ryhmän olevan yksinkertainen, kun sen aste on vähintään viisi. Tämän jälkeen siirrytään permutaatioryhmien soveltamiseen ja todistetaan niihin liittyvä Ei-Burnsiden lemma. Lemman avulla lasketaan joitakin esimerkkejä, jotka osoittavat sen hyödyllisyyden kombinatorisissa tarkasteluissa. Tutkielman lopuksi palataan käsittelemään alternoivaa ryhmää. Viimeisenä tuloksena osoitetaan, että jokaisessa vähintään astetta seitsemän olevassa alternoivassa ryhmässä on permutaatio, jonka kertaluku on suurempi kuin eräs ryhmän asteesta riippuva luku.