Aritmeettisten funktioiden keskiarvot

Abstract

Tutkielman aiheena on aritmeettisten funktioiden keskiarvojen tutkiminen. Tämä on hyödyllistä, sillä varsinkin suurilla luonnollisilla luvuille aritmeettisten funktioiden arvoissa esiintyy paljon heilahtelua. Keskiarvoja tutkimalla saadaan rajoitettua heilahtelua, jolloin funktioita on mielekkäämpää tutkia. Tutkimuksessa keskitytään yleisimpiin aritmeettisiin funktioihin ja niiden keskiarvoihin. Työ on tehty kirjallisuuden pohjalta. Tärkeimpänä lähteenä on käytetty Tom M. Apostolin kirjaa Introduction to Analytic Number Theory. Lukuteoriassa esiintyviä aritmeettisten funktioiden tuloa voidaan käsitellä Dirichletin tulon avulla. Tällöin kaksi mielivaltaista aritmeettista funktiota voidaan liittää toisiinsa. Kahden aritmeettisen funktion Dirichletin tulo on myös aritmeettinen funktio. Tutkielmassa funktioiden keskiarvojen johtaminen aloitetaan johtamalla Eulerin summakaava. Tämän avulla voidaan johtaa asymptoottikaavoja erilaisille funktioille. Näitä soveltamalla saadaan johdettua keskiarvot useimmille aritmeettisille funktioille tässä tutkielmassa. Loppupuolella lasketaan Riemannin zeta-funktion arvo pisteessä kaksi. Tämän tulos liittyy useisiin analyyttisen lukuteorian tuloksiin. Lopussa pohjustetaan myös alkulukulausetta.