Syklinen ryhmä

Abstract

Tämän pro gradu -tutkielman aiheena on syklinen ryhmä. Tutkimus on luonteeltaan teoreettinen ja perustuu pääosin Joseph J. Rotmanin teokseen Advanced Modern Algebra sekä niin ikään Rotmanin teoksen A First Course in Abstract Algebra kolmanteen painokseen. Tutkielman tavoitteena on esittää lukijalle selkeästi, johdonmukaisesti ja monipuolisesti syklisen ryhmän teoriaa ja ominaisuuksia. Yhtenä yksittäisenä tutkimuksen tavoitteena on esittää ja todistaa lause, jonka avulla voidaan löytää ja luetella kaikki äärellisen syklisen ryhmän aliryhmät.

Tutkielman alussa esitetään ryhmäteorian perusasioita. Määritellään ryhmä, aliryhmä, normaali aliryhmä ja tekijäryhmä. Käydään läpi ryhmän kertaluku, sivuluokat ja ryhmähomomorfismi. Tutkielmassa esitetään näiden esitietojen pohjalta tutkimuksen kannalta tärkeitä ryhmäteorian määritelmiä ja lauseita todistuksineen. Näiden ryhmäteorian osa-alueiden sisäistäminen ja läpikäyminen ovat tarpeellisia tutkielman varsinaisen aiheen, syklisen ryhmän, ymmärrettävään esitykseen ja käsittelyyn.

Sykliset ryhmät muodostavat yksinkertaisimman luokan kaikkien ryhmien joukossa ja niiden rakenne voidaan määrittää tarkasti. Syklinen ryhmä on yhden alkion generoima ryhmä eli syklisellä ryhmällä on siis olemassa sellainen alkio, jonka kokonaislukupotensseina saadaan kaikki ryhmän alkiot. Syklinen ryhmä voi olla ääretön syklinen ryhmä tai sitten syklinen ryhmä voi sisältää tietyn määrän alkioita, jolloin kyseessä on äärellinen syklinen ryhmä. Tutkielmassa osoitetaan syklisen ryhmän olevan aina Abelin ryhmä sekä osoitetaan syklisen ryhmän tekijäryhmän olevan myös aina syklinen. Lisäksi osoitetaan ryhmän olevan aina syklinen, mikäli ryhmän kertalukuna on alkuluku. Kertaluvun avulla voidaan myös osoittaa syklisten ryhmien isomorfisuus, sillä samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat isomorfiset.

Syklisen ryhmän aliryhmät voidaan luetella selkeästi sekä äärettömässä että äärellisessä tapauksessa. Tutkielmassa osoitetaan, että jokainen syklisen ryhmän aliryhmä on syklinen ja lisäksi osoitetaan jokaisen syklisen ryhmän aliryhmän olevan normaali aliryhmä. Kun C∞ on ääretön syklinen ryhmä, jonka generoi alkio c, niin tällöin alkion c kaikki positiiviset kokonaislukupotenssit generoivat ryhmän C∞ syklisen aliryhmän. Ja lisäksi mitkään näistä äärettömän syklisen ryhmän aliryhmistä eivät ole samoja keskenään.

Äärellisen syklisen ryhmän aliryhmien kertaluvut jakavat koko ryhmän kertaluvun. Todetaan myös, että äärellisellä syklisellä ryhmällä on täsmälleen yksi kertalukua d oleva aliryhmä jokaista sen kertaluvun n tekijää d kohti. Olkoon G kertalukua n oleva äärellinen syklinen ryhmä, jonka generoi alkio g. Tällöin ryhmän G kaikki aliryhmät ovat alkion g^d generoimia, missä d on luvun n positiivinen tekijä. Ja lisäksi eri tekijöitä vastaavat aliryhmät poikkeavat toisistaan. Eli kaikki äärellisen syklisen ryhmän aliryhmät löydetään tarkastelemalla ryhmän G kertaluvun n tekijöitä.