Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Taskinen, Piia (2016-04-15)
P. Taskinen
15.04.2016
© 2016 Piia Taskinen. Tämä Kohde on tekijänoikeuden ja/tai lähioikeuksien suojaama. Voit käyttää Kohdetta käyttöösi sovellettavan tekijänoikeutta ja lähioikeuksia koskevan lainsäädännön sallimilla tavoilla. Muunlaista käyttöä varten tarvitset oikeudenhaltijoiden luvan.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201604161506
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201604161506
Tiivistelmä
Tässä työssä vertaillaan perinteistä Riemannin integraalia suhteellisen uuteen integraaliteoriaan, joka tunnetaan nimeltä mittaintegraali, yleistetty Riemann-integraali ja Henstock-Kurtzweil-integraali. Työssä käytettiin lähdekirjallisuutena pääasiassa Robert G. Bartlen ja Donald R. Sherbertin teosta Introduction to Real Analysis, Robert G. Bartlen teosta A Modern Theory of Integration sekä Lee Peng Yeen ja Rudolf Výbornýn teosta The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock.
Aluksi määritellään Riemannin integraalimenetelmä Riemannin summien raja-arvona sekä Darbouxin ylä- ja alaintegraalien avulla. Lisäksi esitellään Riemann-integraalille tärkeitä tuloksia, kuten epäoleellinen integraali, Analyysin peruslause sekä suppenemislauseet.
Kolmannessa kappaleessa tarkastellaan Riemann-integraalin epäkohtia esimerkein. Riemann-integroituvien funktioiden pienuus on suurin epäkohta. Jos funktio on jollain välillä rajoittamaton tai funktion arvot heilahtelevat paljon jonkun pisteen ympäristössä, funktio ei välttämättä ole Riemann-integroituva. Lisäksi Riemannin integraalia ei ole määritelty äärettömille väleille. Analyysin peruslause ei ole voimassa sellaisenaan Riemannin integraalille, sillä funktion derivaattafunktio ei ole välttämättä Riemann-integroituva. Riemannin integraaliteoria ei takaa, että jokaisella Riemann-integroituvalla funktiolla olisi integraalifunktiota tai vaikka integraalifunktio olisikin olemassa se ei välttämättä ole Riemann-integroituva. Viimeisenä epäkohtana tarkastellaan rajafunktion Riemann-integroituvuutta. Riemann-integroituvien funktioiden jonon rajafunktio ei välttämättä ole Riemann-integroituva. Lisäksi vaikka rajafunktio olisikin Riemann-integroituva, sen integraalin arvo ei välttämättä ole sama kuin funktion integraalien jonon raja-arvo.
Kappaleessa 4 määritellään mittafunktio, jonka avulla voidaan määritellä mittaintegraali, hyvin samaan tapaan, kuin Riemannin integraali. Lisäksi esitellään mittaintegraalin erityisominaisuuksia ja tuloksia, kuten tärkeän Saks-Henstockin Lemman, joita tarvitaan päätulosten todistamiseen.
Viimeisessä kappaleessa korjataan kappaleessa 3 esitettyjä Riemannin integraalin epäkohtia mittaintegraalin päätuloksina. Analyysin peruslause mittaintegraalille on huomattavasti vahvempi, sillä minkä tahansa funktion derivaattafunktio on aina mittaintegroituva. Mittaintegroituvien funktioiden joukko on paljon suurempi, kuin Riemann-integroituvien, sillä se sisältää funktiot, joilla on olemassa Riemannin epäoleellinen integraali äärellisillä sekä ääretömillä väleillä. Rajafunktion mittaintegroituvuudelle esitellään mittaintegraalin vahvat suppenemislauseet, joita ovat Monotonisen, Dominoidun ja Keskeisen kovergenssin lause. Lopuksi määritellään käsite yhtäintegroituvuus, joka on tasaisen suppenemisen lisäksi toisentyyppinen tasainen olosuhde, joka yhdessä pisteittäisen suppenemisen kanssa takaa rajafunktion mittaintegroituvuuden.
Aluksi määritellään Riemannin integraalimenetelmä Riemannin summien raja-arvona sekä Darbouxin ylä- ja alaintegraalien avulla. Lisäksi esitellään Riemann-integraalille tärkeitä tuloksia, kuten epäoleellinen integraali, Analyysin peruslause sekä suppenemislauseet.
Kolmannessa kappaleessa tarkastellaan Riemann-integraalin epäkohtia esimerkein. Riemann-integroituvien funktioiden pienuus on suurin epäkohta. Jos funktio on jollain välillä rajoittamaton tai funktion arvot heilahtelevat paljon jonkun pisteen ympäristössä, funktio ei välttämättä ole Riemann-integroituva. Lisäksi Riemannin integraalia ei ole määritelty äärettömille väleille. Analyysin peruslause ei ole voimassa sellaisenaan Riemannin integraalille, sillä funktion derivaattafunktio ei ole välttämättä Riemann-integroituva. Riemannin integraaliteoria ei takaa, että jokaisella Riemann-integroituvalla funktiolla olisi integraalifunktiota tai vaikka integraalifunktio olisikin olemassa se ei välttämättä ole Riemann-integroituva. Viimeisenä epäkohtana tarkastellaan rajafunktion Riemann-integroituvuutta. Riemann-integroituvien funktioiden jonon rajafunktio ei välttämättä ole Riemann-integroituva. Lisäksi vaikka rajafunktio olisikin Riemann-integroituva, sen integraalin arvo ei välttämättä ole sama kuin funktion integraalien jonon raja-arvo.
Kappaleessa 4 määritellään mittafunktio, jonka avulla voidaan määritellä mittaintegraali, hyvin samaan tapaan, kuin Riemannin integraali. Lisäksi esitellään mittaintegraalin erityisominaisuuksia ja tuloksia, kuten tärkeän Saks-Henstockin Lemman, joita tarvitaan päätulosten todistamiseen.
Viimeisessä kappaleessa korjataan kappaleessa 3 esitettyjä Riemannin integraalin epäkohtia mittaintegraalin päätuloksina. Analyysin peruslause mittaintegraalille on huomattavasti vahvempi, sillä minkä tahansa funktion derivaattafunktio on aina mittaintegroituva. Mittaintegroituvien funktioiden joukko on paljon suurempi, kuin Riemann-integroituvien, sillä se sisältää funktiot, joilla on olemassa Riemannin epäoleellinen integraali äärellisillä sekä ääretömillä väleillä. Rajafunktion mittaintegroituvuudelle esitellään mittaintegraalin vahvat suppenemislauseet, joita ovat Monotonisen, Dominoidun ja Keskeisen kovergenssin lause. Lopuksi määritellään käsite yhtäintegroituvuus, joka on tasaisen suppenemisen lisäksi toisentyyppinen tasainen olosuhde, joka yhdessä pisteittäisen suppenemisen kanssa takaa rajafunktion mittaintegroituvuuden.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [26793]