Massansiirtoperiaate
Uolamo, Otto (2026-05-19)
O. Uolamo
19.05.2026
© 2026 Otto Uolamo. Ellei toisin mainita, uudelleenkäyttö on sallittu Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0) -lisenssillä (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). Uudelleenkäyttö on sallittua edellyttäen, että lähde mainitaan asianmukaisesti ja mahdolliset muutokset merkitään. Sellaisten osien käyttö tai jäljentäminen, jotka eivät ole tekijän tai tekijöiden omaisuutta, saattaa edellyttää lupaa suoraan asianomaisilta oikeudenhaltijoilta.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202605193458
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202605193458
Tiivistelmä
Klassisessa geometriassa voidaan tutkia joukkojen kokoa muun muassa pinta-alan ja tilavuuden avulla. Fraktaaligeometriassa tutkitaan monimutkaisempia joukkoja, joiden tutkimiseen klassisen geometrian työkalut eivät riitä. Tässä tutkielmassa joukkojen kokoa tutkitaan Hausdorffin sisällön ja siitä johdettavan Hausdorffin dimension avulla.
Yleisesti ottaen alarajan osoittaminen Hausdorffin sisällölle on haastavaa. Massansiirtoperiaate on hyödyllinen työkalu, jonka avulla yhden joukon sisällölle saatu alaraja voidaan tietyin ehdoin siirtää toisen joukon alarajaksi. Ensimmäisen massansiirtoperiaatteen löysivät Beresnevich ja Velani vuonna 2006, jonka jälkeen massansiirtoperiaatetta on yleistetty useaan suuntaan. Tässä tutkielmassa käsitellään Eriksson-Biquen esittelemää yleistystä Beresnevichin ja Velanin massansiirtoperiaatteesta.
Tutkielman viimeisessä kappaleessa hyödynnetään massansiirtoperiaatetta satunnaisen peitejoukon Hausdorffin dimension määrittämiseen. Satunnainen peitejoukko muodostetaan kokoelmasta joukkoja. Nämä joukot siirretään satunnaisesti avaruudessa, jolloin satunnainen peitejoukko muodostuu ottamalla kaikki ne pisteet, jotka kuuluvat äärettömän moneen näistä satunnaisesti siirretyistä joukoista. Tässä tutkielmassa saadaan määritettyä avointen joukkojen muodostaman satunnaisen peitejoukon dimensio massansiirtoperiaatteen avulla.
Yleisesti ottaen alarajan osoittaminen Hausdorffin sisällölle on haastavaa. Massansiirtoperiaate on hyödyllinen työkalu, jonka avulla yhden joukon sisällölle saatu alaraja voidaan tietyin ehdoin siirtää toisen joukon alarajaksi. Ensimmäisen massansiirtoperiaatteen löysivät Beresnevich ja Velani vuonna 2006, jonka jälkeen massansiirtoperiaatetta on yleistetty useaan suuntaan. Tässä tutkielmassa käsitellään Eriksson-Biquen esittelemää yleistystä Beresnevichin ja Velanin massansiirtoperiaatteesta.
Tutkielman viimeisessä kappaleessa hyödynnetään massansiirtoperiaatetta satunnaisen peitejoukon Hausdorffin dimension määrittämiseen. Satunnainen peitejoukko muodostetaan kokoelmasta joukkoja. Nämä joukot siirretään satunnaisesti avaruudessa, jolloin satunnainen peitejoukko muodostuu ottamalla kaikki ne pisteet, jotka kuuluvat äärettömän moneen näistä satunnaisesti siirretyistä joukoista. Tässä tutkielmassa saadaan määritettyä avointen joukkojen muodostaman satunnaisen peitejoukon dimensio massansiirtoperiaatteen avulla.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [43406]
Ellei muuten mainita, aineiston lisenssi on https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/