Cantorin joukon affiinit upotukset

Abstract

Työ perustuu De-Jun Fengin, Wen Huangin ja Hui Raon kirjoittamaan artikkeliin "Affine embeddings and intersections of Cantor sets". Työ koostuu viidestä päälauseesta. Oletetaan, että E ja F ovat itsesimilaareja joukkoja. Ensimmäisessä päälauseessa todistetaan, lievien säännöllisyysoletusten ollessa voimassa, että F voidaan C^1-upottaa joukkoon E, jos ja vain jos se voidaan upottaa affiinisti joukkoon E. Jos joukkoa F ei voida upottaa affiinisti joukkoon E, niin tällöin joukkojen E ja f(F) leikkauksen Hausdorffin dimensio on aidosti pienempi kuin joukon F Hausdorffin dimensio kaikilla C^1-diffeomorfismeilla f. Jos attraktorit E ja F ovat täysin epäyhtenäisiä ja F voidaan upottaa affiinisti joukkoon E, niin on luonnollista olettaa, että attraktoreja vastaavien iteraatiofunktiosysteemien similaarikuvausten suhdeluvut toteuttavat jonkin aritmeettisen ehdon. Toinen päälause näyttää millainen ehto suhdelukujen välillä on tapauksessa, jossa toinen iteraatiofunktiosysteemi toteuttaa vahvan erotteluehdon ja sen similariteettien suhdeluvut ovat samoja. Seuraavaksi tutkimme Cantorin joukkojen affiineja upotuksia. Kolmas päälause tarkentaa edellisen lauseen tulosta tapauksessa, jossa E ja F ovat Cantorin joukkoja. Neljännen päälauseen erikoistapaus puolestaan antaa meille työkalun tarkastella affiineja upotuksia, kun ainakin toisen iteraatiofunktiosysteemin attraktori on Cantorin joukko jonkin luvun p suhteen. Viimeinen päälause seuraa aiemmista lauseista ja se liittyy erääseen Furstenbergin muotoilemaan konjektuuriin.