p-adiset luvut ja lokaali–globaali-periaate

Abstract

Tutkielmassa esitetään p-adisten lukualueiden konstruktiot algebrallisin ja topologisin keinoin. Näiden algebrallisia ja topologisia perusominaisuuksia käydään läpi, mm. p-adisten yhtälöjen ratkaisussa käytetty Henselin lemma. Toisessa osassa esitetään Diofantoksen yhtälöjen ratkaisuun käytettävän lokaali–globaali-periaatteen ajatus, ja rakennetaan neliömuotojen teoriaa jotta niiden lokaali–globaali-periaate eli Hassen–Minkowskin lause voidaan todistaa rajatussa erityistapauksessa. Lopuksi näytetään, miten tällä lauseella voidaan systemaattisesti ratkoa klassisia neliösummaongelmia, läpikäytynä on tulos koskien kahden neliön summana esitettäviä kokonaislukuja.