Äärelliset kunnat

Abstract

Tässä Pro Gradu -tutkielmassa perehdytään äärellisiin kuntiin eli Galois'n kuntiin. Äärelliset kunnat ovat kuntarakenteiden erityistapaus. Ne muodostetaan asettamalla kaksi binääristä operaatiota äärelliseen joukkoon alkioita. Tutkielman merkittävimmät lauseet antavat meille sellaiset tulokset, jotka sanovat äärellisen kunnan kertaluvun olevan aina muotoa p^n, missä p on alkuluku ja n positiivinen kokonaisluku. Lisäksi todistamme, että jokaiselle tällaiselle luvulle p^n on olemassa äärellinen kunta kertalukua p^n sekä samaa kertalukua olevat äärelliset kunnat ovat isomorfisia.

Tutkielma rakentuu kertaamalla ensimmäisessä neljässä luvussa algebrallisiin rakenteisiin liittyviä perusteita. Ryhmä-, rengas- ja kuntarakenteiden kertaaminen antaa meille vahvan perustan jatkaa syvemmälle äärellisten kuntien maailmaan. Tämän jälkeen kerrataan tekijärakenteet ja polynomirenkaat, jotka tulevat olemaan tärkeässä osassa kuntalaajennusten muodostamisessa. Ennen jatkamista suoranaisten äärellisten kuntien kanssa, tutkielmassa käydään melko mittavasti läpi kuntahomomorfismi ja -isomorfismi, sekä niiden merkittävimpiä tuloksia.

Viidennessä luvussä käsitellään karakteristikan käsite ja sen ominaisuuksia. Karakteristika on renkaan ykkösalkion kertaluku sen additiivisessa ryhmässä. Karakteristika onkin merkittävä käsite äärellisen kunnan rakenteeseen liittyen. Tutkielmassa tullaan osoittamaan kunnan kertaluvun seuraavan kunnan karakteristikasta. Kuudes luku käsittelee kuntalaajennusta ja sen ominaisuuksia. Tärkeimpänä tuloksena huomataan polynomirenkaan jaottoman polynomin generoiman pääideaalin suhteen muodostetun tekijärenkaan olevan rakenteeltaan kunta.

Tarpeellisten ennakkotietojen jälkeen siirrytään tutkimaan äärellisen kunnan rakennetta. Luku rakentuu osoittamalla aluksi kunnan karakteristikan olevan aina alkuluku. Tämän jälkeen auttavien tulosten avulla osoitetaan jokaisen kunnan kertaluvun olevan muotoa p^n. Seuraavaksi todistetaan tuloksia, joita käytetään todistamaan jokaiselle luvulle p^n olevan olemassa kunta kertalukua p^n ja kahden samaa kertalukua olevan kunnan olevan myös isomorfisia.