Iteroidut funktiosysteemit

Abstract

Tässä työssä käsitellään iteroituja funktiosysteemejä (IFS). Niihin liittyvä teoria pohjautuu fraktaaligeometriaan, ja tämän vuoksi työssä esitellään myös paljon fraktaaligeometrian peruskäsitteitä sekä niiden ymmärtämisen kannalta olennaisia esitietoja. Tarkoituksena olisi, että fraktaaligeometriaan aiemmin perehtymätön lukija pystyisi tämän työn sisällön avulla ymmärtämään tärkeimmät iteroituihin funktiosysteemeihin liittyvät käsitteet, määritelmät ja muutaman olennaisen lauseen todistuksineen. Luvussa 1 käydään läpi tärkeimmät esitiedot, joiden hallitseminen on olennaista myöhempien lukujen ymmärtämisen kannalta. Luvussa 2 pyritään luomaan intuitiivinen ymmärrys fraktaaleista yleisesti, sekä esitellään tärkeimpiä fraktaaligeometrian määritelmiä ja tuloksia. Luvussa 3 käydään läpi iteroidun funktiosysteemin määritelmä, attraktorin määritelmä sekä todistukset attraktorin olemassaolosta ja sen yksikäsitteisyydestä. Luvussa 4 esitellään hyvin olennaisia lauseita todistuksineen, jotka helpottavat IFS:illä määriteltyjen fraktaalien ulottuvuuden arviointia. Tutkielmassa on käytetty pääasiallisena lähteenä teosta [1] (tarkalleen ottaen kappaleita 1- 4 ja 9). Se toimii lähteenä kaikille työssä esitellyille määritelmille, todistuksille ja esimerkeille. Aiheesta syvemmin kiinnostuneelle lukijalle tämä teos onkin erinomainen opas myös fraktaaligeometrian muihin osa-alueisiin. Lähteiden [2] ja [3] käyttö rajoittuu luvun 2 alkuun, jossa fraktaaleja esitellään hieman yleistajuisemmin ja käydään läpi niiden tutkimukseen johtaneita vaiheita.