Assouad dimensions and local structure of fractal sets and measures
Anttila, Roope (2025-05-02)
© University of Oulu, 2025. This publication is copyrighted. You may download, display and print it for your own personal use. Commercial use is prohibited. © Oulun yliopisto, 2025. Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
https://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202503312283
Kuvaus
Tiivistelmä
Fractals are objects with intricate detail at arbitrarily small scales, and fractal geometry is a field of mathematics that specialises in describing their geometric properties. This dissertation consists of four articles on fractal geometry, and the broad objective is to understand the local geometric structure of fractal sets and measures at small scales.
In the first article, we introduce a pointwise variant of the Assouad dimension for measures, for quantifying their pointwise doubling properties. For various measures supported on attractors of iterated function systems, we relate this pointwise Assouad dimension to the global Assouad dimension by showing that the pointwise version agrees with the global one at almost all points in a strong sense. To complement these results, in the third article, we analyse the level sets of the pointwise Assouad dimension of self-similar measures, which often have a multifractal structure resulting from the non-uniformity in the mass distribution. We are able to fully determine the multifractal spectrum for the pointwise Assouad dimension of self-similar measures satisfying the open set condition and, as a simple application, we show that all self-similar measures (even those which are not doubling) are pointwise doubling in a set of full Hausdorff dimension.
In the second and fourth articles, we are interested in the local geometry of self-affine sets. Self-affine sets are the attractors of the simplest non-conformal iterated function systems, and it has been shown in many special cases that the non-conformality results in a fibre structure under successive magnifications in the set. The sets arising from this magnification process are called weak tangents, and the Hausdorff dimension of the largest weak tangent is called the Assouad dimension of the set. We extend previous results on the Assouad dimension and tangent structure of self-affine sets by showing that the fibre structure of weak tangents is present under no separation conditions at all. Moreover, under a geometric separation assumption, which is weaker than those considered previously in the literature, we are able to show that the Assouad dimension of a self-affine set is characterised by the dimensions of its projections and slices in the directions of the strongest asymptotic contractions of the affine maps in the iterated function system.
Fraktaalit ovat objekteja, joiden tunnuspiirre on yksityiskohtainen rakenne kaikilla mittakaavoilla, ja fraktaaligeometria on matematiikan ala, joka erikoistuu fraktaalien geometristen ominaisuuksien kuvailuun. Tämä väitöskirja koostuu neljästä fraktaaligeometrian artikkelista, joiden yhdistävänä teemana on tutkia fraktaalijoukkojen ja -mittojen paikallista geometriaa pienillä skaaloilla.
Väitöskirjan ensimmäisessä artikkelissa esitellään mittojen Assouad-dimension pisteittäinen variantti, joka kuvaa mitan pisteittäistä tuplaavuutta. Tätä pisteittäistä Assouad-dimensiota verrataan mitan globaaliin Assouad-dimensioon osoittamalla, että useille iteroiduille funktiosysteemeille invarianteille mitoille pisteittäinen ja globaali versio ovat melkein kaikissa pisteissä yhtä suuret. Tuloksia täydennetään väitöskirjan kolmannessa artikkelissa analysoimalla itse-similaarien mittojen, joilla on usein massajakauman epäsäännöllisyydestä johtuva multifraktaalirakenne, pisteittäisen Assouad-dimension tasa-arvojoukkojen kokoa. Väitöstyössä määritetään avoimen joukon ehdon toteuttavien itse-similaarien joukkojen pisteittäisen Assouad-dimension multifraktaalispektri, jonka sovelluksena osoitetaan, että kaikki itse-similaarit mitat (myös ne, jotka eivät ole tuplaavia) ovat pisteittäin tuplaavia joukossa, jonka Hausdorff-dimensio on täysi.
Väitöskirjan toisessa ja neljännessä artikkelissa tutkitaan itse-affiinien joukkojen paikallista rakennetta. Itse-affiinit joukot ovat yksinkertaisimpia iteroitujen funktiosysteemien attraktoreja, joiden rakenne ei ole konforminen. Aiemmin on osoitettu, että affiineille iteroiduille funktiosysteemeille tyypillinen epätasainen kutistaminen eri suunnissa aiheuttaa kuiturakenteen, kun joukosta otetaan peräkkäisiä suurennoksia. Tästä suurennusprosessista syntyviä joukkoja kutsutaan heikoiksi tangenteiksi, ja joukon Assouad-dimensio on sen suurimman heikon tangentin Hausdorff-dimensio. Väitöskirjassa yleistetään aikaisempia tuloksia osoittamalla, että myös mielivaltaisia päällekkäisyyksiä sisältävien itse-affiinien joukkojen heikoilla tangenteilla on kuiturakenne. Mikäli joukko lisäksi toteuttaa geometrisen erotteluehdon, joka on heikompi kuin aiemmissa tutkimuksissa käsitellyt erotteluehdot, pystytään itse-affiinin joukon Assouad-dimensio karakterisoimaan joukon projektioiden ja viipaleiden dimensioiden avulla.
Original papers
-
Anttila, R. (2023). Pointwise Assouad dimension for measures. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 153(6), 2053–2078. https://doi.org/10.1017/prm.2022.83 https://doi.org/10.1017/prm.2022.83
-
Anttila, R., Bárány, B., & Käenmäki, A. (2024). Slices of the Takagi function. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 44(9), 2361–2398. https://doi.org/10.1017/etds.2023.117 https://doi.org/10.1017/etds.2023.117
-
Anttila, R., & Suomala, V. (2024). Multifractal analysis for the pointwise Assouad dimension of self-similar measures. Advance online publication. https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.03953 https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.03953
-
Anttila, R., & Rutar, A. (2024). Fibre stability for dominated self-affine sets. Advance online publication. https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.06579 https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.06579
Osajulkaisut
-
Anttila, R. (2023). Pointwise Assouad dimension for measures. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 153(6), 2053–2078. https://doi.org/10.1017/prm.2022.83 https://doi.org/10.1017/prm.2022.83
-
Anttila, R., Bárány, B., & Käenmäki, A. (2024). Slices of the Takagi function. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 44(9), 2361–2398. https://doi.org/10.1017/etds.2023.117 https://doi.org/10.1017/etds.2023.117
-
Anttila, R., & Suomala, V. (2024). Multifractal analysis for the pointwise Assouad dimension of self-similar measures. Advance online publication. https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.03953 https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.03953
-
Anttila, R., & Rutar, A. (2024). Fibre stability for dominated self-affine sets. Advance online publication. https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.06579 https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.06579
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [38824]