Dimensiot

Abstract

Tämän gradun aiheena on dimensiot. Kuten nimestä voi päätellä se liittyy jollakin tapaa ulottuvuuksiin, mutta kuitenkin hyvin abstraktilla ja analyyttisellä tavalla. Niin kuin matemaatikassa melkein ylipäätäänsä, niin on tässäkin tarkastelun kohteena joukot ja niihin liittyvät säännönmukaisuudet. Se, miten ymmärrämme yksinkertaisesti ulottuvuuden voimme hyvin määritellä joukoille. Jos voimme kuvitella jonkin joukon \(F\) alkioiden kuuluvan vaikka reaalilukuavaruuden aliryhmäksi \(F ⊂ R^n\), niin tämän joukon varmaan voisi kuvitella n-ulotteiseksi? Tarkemmin ottaen voimme aina kuvitella suuremman reaalilukuavaruuden, jonka aliryhmiä sama joukko myös on, joten syntyy tarve tarkemmalle määrittelylle. Entä jos määrittelemme, että joukon \(F\) ulottuvuus on pienimmän reaalilukuavaruuden ulottuvuus \(R^n\), jonka aliryhmäksi voimme kuvata joukon \(F\)? Se, minkälaiselle avaruudelle voimme kuvata joukon \(F\) alkiot, kertoo joukon kuvauksesta, mutta se ei kerro suoraan itse joukon \(F\) ulottuvuudesta. Jos me pystymme erottamaan useat toisiinsa sisältyvät reaalilukuavaruudet \(R^n\) toisistaan, niin meillä ei pitäisi olla vaikeutta määritellä itse joukon \(F\) ulottuvuuttakaan. Se, mistä tiedämme jonkin avaruuden Rn ulottuvuuden, liittyy sen kantavektoreiden lukumäärään, ja johtaa tästä määritelmän joukon \(F\) ulottuvuuden määrittelemiseksi. Joukon \(F\) ulottuvuus voidaan määritellä pienimmäksi sellaisten vektoreiden lukumääräksi, jotka yhdessä jonkin joukon \(F\) alkion kanssa muodostavat lineaarisen verhon, jonka aliryhmänä voimme joukon \(F\) esittää. Eli:

\[D(F) = \min{m : F ⊂ e_0 + \sum_{i =1}^{m}x_ie_i} \]

missä \(x_i ⊂ R\), \(F\), \(e_0 ⊂ R^n\), \(e_i ⊂ R^n\) ja \(m ≤ n\) Siis \(e_i\):t ovat avaruuden \(R^n\) vektoreita ja muuttujat \(x_i\):t ovat skalaareja. Tarvitsemme vielä alkiota \(e_0\), joka voidaan ilmaista myös yhtenä saman avaruuden vektoreista, mutta siihen ei kuitenkaan liitetä muuttujaa ja tätä tarvitaan avuksi määrittämään koko joukko \(F\) vaikka sekin kuuluu avaruuteen \(R^n\). Jos joukko \(F\) on vain yksi alkio, niin sen ulottuvuus on yksinkertaisesti nolla: \(D(F) = 0\). Kuitenkaan tämäkään määritelmä ei vielävastaa kaikkea sitä miten ulottuvuuden ymmärrämme. Edellä mainittu ulottuvuuskäsitys on sikäli yksinkertainen, että siinä ulottuvuudet ymmärretään suorien avulla, joista puolestaan johdetaan tasot, avaruudet, neljäulotteiset avaruudet ja niin edelleen. Meillä on kuitenkin tapana mitata esimerkiksi pintaaloja kaikilta jatkuvilta pinnoilta eikä vain tasoista, ymmärrämme näin jopa kaikki pinnatkin kaksiulotteisina joukkoina, jotka voidaan laskea mahdollisesti pinta-aloina. Kuitenkin tälle ulottuvuuskäsitykselle pitää keksiä oma määritelmä erotuksena edelliseen. Ei ole myöskään vaikeaa keksiä määritelmää, jolla tälläinen ulottuvuus pystytään määrittelemään kaikille joukoille, mutta tämäkään ei vielä ole oleellista dimensioiden määritelmien kannalta, jossa tässä keskitymme. Tälle viimeksi mainitulle ulottuvuuden määritelmälle on oleellista se, että siinä keskitytään jatkuviin yhtenäisiin joukkoihin, ja joukot joihin tässä keskitymme eivät välttämättä ole jatkuvia, ne voivat olla jopa täysin epäjatkuvia. Tällainen jatkuvuus-ulottuvuus voidaan määritellä joukoille siten, että minkälaisella mahdollisella yksinkertaisellä \(R^n\) avaruuden lähtöjoukolla voimme kuvata halutun joukon. Tämä jatkuvuus-ulottuvuus tarkoittaa sitä, ettei suoran joukolla voi esimerkiksi kuvata jatkuvaa pinnan joukkoa. Tähän liittyen voimme kuitenkin esitellä seuraavanlaisen mielenkiintoisen joukon, mikä osaltaan johdattelee meitä fraktaalidimension käsitteeseen. Vaikka emme voi siis määritellä kuvausta, jossa avaruuden esim. \(R^1\) suora voisi kuvata jonkin rajoitetun tason \(R^2\) pisteet, niin voimme kuitenkin määritellä käyrän, joka ainakin jossakin mielessä täyttää rajoitetun tason \(R^2\) avaruudesta. Tämä käyrä tunnetaan Peanon käyränä ja se on määritelty tasossa mutkittelevaksi käyräksi, joka iteraatioittain täyttää yhä enemmän pisteitä rajoitetun tason alueella. Tämän käyrän pituus tietenkin kasvaa rajattomasti iteraatioittain. Se kysymys voitaisiinko tälläisen käyrän katsoa lähestyvän tasoa tekee hankalaksi se, ettei raja-arvoisesti tämän käyrän komplementikaan joukon oleellisella rajatulla alueella voida oikeastaan nähdä olevan taso tämän joukon jatkuvuutta ajatellen. Se mistä olemme dimensioissa olevasta analyysissä kiinnostuneita on että voidaanko joukon ulottuvuuksia tarkastella riippumatta sellaisista ilmiselvistä ulottuvuuksista kuten suorat, tasot, avaruudet ja niin edelleen.

Jos tarkastelumme kohteena on joukot yleisesti, niin mikä niissä on se asia mikä meitä kiinnostaa ja minkä perusteella määrittelemme dimension? Voimme tässä lähteä sellaisista erityisistä joukoista, jotka tunnemme fraktaaleina. Fraktaaleilla joukkoina on se ominaisuus, että ne ovat tavalla tai toisella monimutkaisia niin, ettei niitä voi määritellä kuin laskennallisesti äärettömien joukkojen yhdisteinä. Fraktaaleilla se ominaisuus, josta dimension määritelmän suhteen olemme kiinnostuneita on se, että niillä on jokin piirre, joka fraktaalin monimutkaisuudesta huolimatta joko säilyy samana tai täsmentyy kun tarkennamme sen tarkastelun mittakaavaa. Jos jokin piirre säilyy joukoissa täsmällisenä mittakaavaa tarkentaessa (skaalatessa), niin tälläinen joukko on itsesimilaarinen. Se, miten itsesimilaarisuutta voimme näin hyödyntää uudenlaisessa ulottuvuuskäsityksessä, voidaan pitää ensimmäisenä esimerkkinä oikeanlaisesti määritellystä fraktaalidimensiosta. Fraktaalidimensiota tästä eteenpäin kutsun yksinkertaisesti vain dimensioksi. Itsesimilaarisuuden dimensio ilmenee kun hyödynnämme yhtä perusominaisuutta yksinkertaisista ulottuvuuksista mitä kutsumme skaalautuvuudeksi. Tiettyjen joukkojen ulottuvuus säilyy samana vaikka niitä skaalattaisiin tietyn arvon verran kaikkiin suuntiin. Tämän lisäksi me voimme myöskin skaalauksen avulla päätellä koko joukon että sen osien ulottuvuuksia. Jos rajoitetun tason skaalaa kaksinkertaiseksi, sen sivujen pituudet kaksinkertaistuvat ja pinta-ala nelinkertaistuu, mutta sen tilavuus pysyy samana koska tasolla ei ole tilavuutta tai sen voidaan katsovan olevan 0. Me voimme fraktaaleilla joilla ei ole välttämättä tälläisiä mitattavia piirteitä kysyä sen sijaan kuinka moninkertaisesti alkuperäinen joukko sisältyy fraktaalin skaalattuun joukkoon. Tällä tavoin me pystymme välttämään joukkojen määrittelemisen yksinkertaisten ulottuvuuksien avulla. Jos ajattelemme vaikka Cantorin joukkoa, joka saadaan rajoitetulta suoralta poistamalla keskimmäinen kolmannes ja suorittamalla tämä toimenpide rajattomasti aina pienemmille tästä muodostuville suorille. Jos me skaalaamme tällaista joukkoa kolmannekseen, niin tämä skaalattu joukko sisältyy puoleen alkuperäisen joukon pisteistä. Voimme täysin laskennallisesti tästä määritellä joukon dimension, joka on tässä määritelty täysin itsesimilaarisuuden avulla. Jos joukko sisältyi puoleen alkuperäisestä, niin tämä täytyy logaritmisesti suhteuttaa itse skaalaukseen, eli laskemme dimension seuraavasti:

\[\dim(Cantorinjoukko) = \frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(\frac{1}{3})} ≈ 0.6309...\]

Itsesimilaarisuus ei määrittele fraktaalia, mutta itsesimilaarisuuden avulla on mahdollista luoda kaikkein yksinkertaisimmat fraktaalit. Tässä gradussa on tarkoitus esitellä kolmen erinlaisen yleispätevien dimensioiden määritelmät, joita voidaan soveltaa peritaatteessa minkä tahansa laisiin joukkohin. Myöhemmin gradussa tutkimme myös näiden dimensioiden välisiä suhteita, teemme esimerkkilaskelmia niillä tietyillä fraktaaleilla. Lopulta laskemme dimension myös Fourier-sarjan tyylisellä kehitelmällä luodulla monimutkaisen käyrällä, joka tunnetaan Weierstrassin funktiona. Tässä käytämme yhtä näistä kolmesta dimensiosta.