Ryhmähomomorfismi

Abstract

Tutkielmassa käsitellään ryhmää, ryhmähomomorfismia, ryhmäisomorfismia ja tutustutaan isomorfialauseisiin. Ensimmäisessä luvussa tutustutaan ryhmiin sekä niihin liittyviin ominaisuuksiin ja tuloksiin, sekä esitellään muutamia esimerkkejä ryhmästä. Luvussa määritellään myös muun muassa aliryhmä, sivuluokat ja tekijäryhmä. Tutkielmassa homomorfismi määritellään kahden ryhmän välisenä kuvauksena, joka yhdistää ryhmien alkiot niin, että se kunnioittaa ryhmien operaatioita. Jos homomorfismi on lisäksi bijektio, niin sitä kutsutaan isomorfismiksi. Ryhmäteoriassa kahdella keskenään isomorfisella ryhmällä on samat ominaisuudet, ja niiden voidaan ajatella käyttäytyvän samalla tavalla. Toisessa luvussa käsitellään erityisesti homomorfismiin sekä sen kuvaan ja ytimeen liittyviä ominaisuuksia. Tutkielman kolmannessa luvussa todistetaan kolme isomorfialausetta, jotka kuvaavat ryhmien, aliryhmien ja tekijäryhmien välisiä yhteyksiä. Ensimmäinen lause kertoo, miten voidaan löytää isomorfismi, kun tarkastellaan homomorfismin kuvaa ja ydintä. Toinen ja kolmas isomorfialause ovat seurauksia ensimmäisestä, jotka laajentavat ensimmäisen lauseen ideaa normaaleille aliryhmille ja tekijäryhmille. Isomorfialauseiden avulla voidaan tutkia ryhmien ominaisuuksia yksinkertaisempien ryhmien kautta ja tässä tutkielmassa niitä käytetään osoittamaan muutama tulos liittyen kokonaislukuihin ja jäännösluokista muodostuviin ryhmiin.