Sharkovskyn lause

Abstract

Sharkovskyn lause keskittyy jatkuviin diskreetteihin dynaamisiin systeemeihin ja niiden periodisten pisteiden minimiperiodeihin. Dynaaminen systeemi on kiinnitetyltä joukolta itselleen määritelty funktio, johon liitetään aikakäsite. Diskreetissä dynaamisessa systeemissä aika on diskreetti, eli tarkastellaan vain tiettyjä "ajanhetkiä". Tällöin voidaan ajatella, että yhden aikayksikön eteneminen tarkoittaa yhtä iteraatiota tarkasteltavalla funktiolla.

Sharkovskyn lauseen kannalta olennainen on luonnollisille luvuille määritelty Sharkovskyn järjestys, joka esitellään luvussa kolme. Järjestyksessä pienimmät ovat luvun kaksi potenssit, suurimmat ovat parittomat luvut ja väliin jäävät loput parilliset luvut, jotka järjestellään sen perusteella, kuinka suuri luvun kaksi potenssi niissä tekijänä esiintyy. Sharkovskyn lauseen mukaan, jos funktiolla on periodinen piste minimiperiodilla p, niin sillä on periodinen piste myös jokaiselle minimiperiodille, joka on Sharkovskyn järjestyksessä pienempi kuin p. Tämä tulos todistetaan luvussa neljä.

Lisäksi Sharkovskyn lause väittää, että valittiinpa mikä tahansa Sharkovskyn järjestyksen luku p, niin löydetään jatkuva funktio, jolla on täsmälleen kaikki minimiperiodit, jotka ovat korkeintaan p. Viimeisessä luvussa käsitellään tuplausoperaattoreita, joiden avulla väite saadaan todistettua. Tuplausoperaattori on funktio, joka määritellään toisen, kiinnitetyn funktion avulla. Tuplausoperaattorilla on minimiperiodi yksi ja täsmällään kaikki kiinnitetyn funktion minimiperiodit kaksinkertaistettuna.

Tutkielman yksityiskohdat on pyritty selittämään tavalla, jolla hieman kokemattomampikin matematiikan opiskelija pystyy kohdat hahmottamaan. Todistusten ymmärtäminen vaatii lukijalta esitietoja perusanalyysistä ja metrisistä avaruuksista.