Metristen avaruuksien täydellistymät ja Arzelà–Ascolin lause

Abstract

LuK-tutkielmassa tarkastellaan metrisiä avaruuksia ja niihin liittyviä ominaisuuksia. Tutkielmassa on kaksi päätulosta. Ensimmäinen niistä kertoo, että jokaisella metrisellä avaruudella on täydellistymä, ja mitkä tahansa kaksi täydellistymää ovat isometriset keskenään. Toinen päätulos on Arzelà–Ascolin lause, jonka mukaan kompaktissa metrisessä avaruudessa määriteltyjen jatkuvien funktioiden kokoelman ja sup-metriikan muodostama metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos se on rajoitettu, suljettu ja yhtäjatkuva. Todistetaan nämä lauseet ja kaikki näiden lauseiden todistuksissa tarvittavat lauseet.

Kahden päätuloksen lisäksi tutkielma sisältää siis useita muita tuloksia. Esimerkiksi osoitetaan, että metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos se on täydellinen ja täysin rajoitettu. Osoitetaan myös, että metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos sen jokaisella jonolla on suppeneva osajono sekä Lebesguen peitelause.

Tutkielmaan sisältyviä metrisiin avaruuksiin liittyviä käsitteitä ovat muun muassa avoin pallo, avoin ja suljettu joukko, rajoitettu ja täysin rajoitettu joukko, kasautumispiste, sulkeuma, tiheä joukko ja isometria. Tarkastellaan jonoja ja jonojen suppenemista, Cauchyn jonoja, täydellisiä metrisiä avaruuksia, täydellistymiä, jatkuvuutta, yhtäjatkuvuutta ja kompakteja metrisiä avaruuksia.