Fourier-analyysi
Tahkola, Joni (2024-03-25)
J. Tahkola
25.03.2024
© 2024 Joni Tahkola. Ellei toisin mainita, uudelleenkäyttö on sallittu Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0) -lisenssillä (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). Uudelleenkäyttö on sallittua edellyttäen, että lähde mainitaan asianmukaisesti ja mahdolliset muutokset merkitään. Sellaisten osien käyttö tai jäljentäminen, jotka eivät ole tekijän tai tekijöiden omaisuutta, saattaa edellyttää lupaa suoraan asianomaisilta oikeudenhaltijoilta.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202403252419
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202403252419
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa perehdytään Fourier-analyysiin tutkimalla Fourier’n sarjojen sekä Fourier’n muunnoksen sisältämiä tuloksia. Mielivaltaisen funktion esittäminen sarjana juontaa juurensa jo 1700-luvun puoliväliin ja värähtelevän kielen liikkeen tutkimiseen. Joseph Fourier esitti 1800-luvulla ratkaisun lämpöyhtälöön teoksessaan Théorie analytique de la chaleur. Tutkiessaan lämpöyhtälöä Fourier löysi funktion laajennuksen trigonometrisena sarjana ja hänen teoksessaan esittämät ratkaisunsa olivat ensimmäiset, jotka yleisesti hyväksyttiin. Tutkielmassa tutustutaan lämpöyhtälön ratkaisuihin sekä sen herättämiin kysymyksiin.
Erityisesti sarjan suppeneminen herätti keskustelua jo 1800-luvulla ja tutkielmassa esitellään suppenemisen keskeisimmät tulokset, jotka riittävät useimpiin käytännön sovelluksiin. Työssä tutkitaan jaksollisen funktion Fourier'n sarjan suppenemista. Todistetaan sarjan suppenevan funktioon itseensä itseisesti ja tasaisesti, kun funktio on määritelty sopivasti. Tutkimalla funktioiden esitystä ortonormaalin kannan avulla saadaan laajennettua suppenemisteoriaa norminsa mukaan suppenemisella.
Tutkielmassa tutustutaan lyhyesti Fourier’n muunnokseen, joka mahdollistaa funktioiden sarjaan laajennuksen koko reaaliakselilla. Fourier´n muunnosta hyödynnetään signaalin käsittelyissä ja monissa muissa käytännön sovellutuksissa, sillä sen sisältämä konsepti mahdollistaa mukautumisen lukuisiin eri tilanteisiin. Lopuksi pohditaan lämpöyhtälön ratkaisuja tutkielmassa saatujen tuloksien valossa.
Erityisesti sarjan suppeneminen herätti keskustelua jo 1800-luvulla ja tutkielmassa esitellään suppenemisen keskeisimmät tulokset, jotka riittävät useimpiin käytännön sovelluksiin. Työssä tutkitaan jaksollisen funktion Fourier'n sarjan suppenemista. Todistetaan sarjan suppenevan funktioon itseensä itseisesti ja tasaisesti, kun funktio on määritelty sopivasti. Tutkimalla funktioiden esitystä ortonormaalin kannan avulla saadaan laajennettua suppenemisteoriaa norminsa mukaan suppenemisella.
Tutkielmassa tutustutaan lyhyesti Fourier’n muunnokseen, joka mahdollistaa funktioiden sarjaan laajennuksen koko reaaliakselilla. Fourier´n muunnosta hyödynnetään signaalin käsittelyissä ja monissa muissa käytännön sovellutuksissa, sillä sen sisältämä konsepti mahdollistaa mukautumisen lukuisiin eri tilanteisiin. Lopuksi pohditaan lämpöyhtälön ratkaisuja tutkielmassa saatujen tuloksien valossa.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [38358]
Ellei muuten mainita, aineiston lisenssi on https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/