Jaottomat polynomit

Abstract

Tässä kandidaattitutkielmassa käsittelen polynomien jaottomuutta. Määrittelen polynomien jaottomuuden sekä todistan Eukleideen algoritmin pohjalta, että jokainen polynomi voidaan yksikäsitteisesti jakaa jaottomiin tekijöihin. Lisäksi todistan, että kokonaislukukertoiminen polynomi on jaollinen kokonaislukujen renkaassa jos ja vain jos se on jaollinen rationaalilukujen renkaassa. Tämän jälkeen esittelen ja todistan erilaisia kriteerejä, joiden avulla erilaisia polynomeja voidaan osoittaa jaottomaksi, ja lisäksi havainnollistan näitä kriteereitä esimerkein.

Ensimmäinen esitelty kriteeri on Eisensteinin kriteeri, jonka mukaan polynomi on jaoton, mikäli se täyttää seuraavat ehdot. Ensimmäinen ehto on, että sen kaikki kertoimet suurinta astetta olevan termin kerrointa lukuun ottamatta ovat jaollisia jollakin alkuluvulla. Toinen ehto on, että sen suurinta astetta olevan termin kerroin ei ole jaollinen kyseisellä alkuluvulla, ja kolmas ehto on, että vakiokerron ei ole jaollinen tämän kyseisen alkuluvun neliöllä.

Toinen esitelty kriteeri on kriteeri, jonka mukaan polynomi joka koostuu vain ja ainoastaan neljännen asteen termistä jonka kerroin on 1, toisen asteen termistä jonka kerroin on jokin kokonaisluku, ja vakiotermistä joka on jonkin kokonaisluvun neliö, on jaollinen jokaisen alkuluvun jäännösluokkarenkaassa.

Kolmanneksi esitellyn kriteerin mukaan polynomi on jaoton, mikäli se saavuttaa tarpeeksi pienen arvon vähintäänkin sen astetta vastaavalla määrällä sellaisia kokonaislukuja, jotka eivät ole sen juuria.

Viimeisenä käsitellään sellaisia polynomeja, jotka koostuvat neljästä termistä siten, että korkeinta astetta olevat termin kerroin on 1, toiseksi ja kolmanneksi korkeinta astetta olevien termien kertoimet ovat joko 1 tai -1 riippumatta toisistaan, ja vakiotermi on joko 1 tai -1. Tätä muotoa olevia polynomeja koskevan kriteerin mukaan niiden jaollisuus riippuu yksinomaan siitä, onko niillä juuria, jotka ovat ykkösen juuria.