Äärellisten ryhmien teorian peruslauseita

Abstract

Tutkimus käsittelee pääasiassa äärellisiä ryhmiä ja muutamaa tärkeää lausetta, jotka liittyvät nimenomaan äärellisiin ryhmiin. Tärkein kysymys tutkielmassa on, että miten ryhmän kertaluku vaikuttaa ryhmän rakenteeseen. Tässä tutkielmassa tähän kysymykseen vastataan Cauchyn ja Sylowin lauseilla. Tutkimus on luonteeltaan teoreettinen ja tärkeimmät lähteet, joita apuna käyttäen Cauchyn ja Sylowin lauseet on todistettu, ovat teokset I. N. Herstein: Abstract Algebra- 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey, 1990 ja I. N. Herstein: Topics in Algebra- 2nd edition, John Wiley & Sons, New York, 1975.

Tutkielma alkaa toisessa luvussa perusasioiden läpikäymisellä, eli käydään läpi melko tarkasti alusta asti määritelmät, lauseet ja apulauseet, joiden avulla sitten voidaan todistaa tärkeät lauseet. Kolmannessa luvussa käydään läpi Cauchyn lause, joka kertoo, että jos ryhmän kertaluku on jaollinen jollain alkuluvulla, niin tällöin ryhmä sisältää alkion, jonka kertaluku on tämä kyseinen alkuluku. Tämä lause ei vielä kovin selkeästi kerro, miten ryhmän kertaluku vaikuttaa rakenteeseen, mutta on hyvänä apuna Sylowin lauseiden todistuksissa.

Neljäs luku käsittelee Sylowin lauseita, joita on kolme kappaletta. Ensimmäinen Sylowin lause kertoo, että jos ryhmän kertaluku on muotoa (p^n)m, missä p on alkuluku, niin tälle ryhmälle on olemassa aliryhmä, jonka kertaluku on p^n. Seuraavat kaksi Sylowin lausetta vielä hieman syventävät tätä tietoa ja antavat esimerkiksi tällaisten aliryhmien lukumäärän. Näiden lauseiden avulla saadaan usein melko helposti paljon tietoa ryhmän rakenteesta, ja voidaan tutkia esimerkiksi, onko ryhmä yksinkertainen tai Abelin ryhmä. Lopussa olevat kaksi esimerkkiä käsittelevät nimenomaan näitä kahta tapausta.

Tämä tutkielma on vasta pieni raapaisu siitä, miten ryhmän kertaluvun vaikutusta rakenteeseen voidaan tutkia ja pelkästään Sylowin lauseiden sovelluksia voidaan laajentaa vielä todella paljon. Usein, kun tutkitaan esimerkiksi ryhmien yksinkertaisuutta, ei päästä lopputulokseen noin helposti kuin tässä tutkielmassa. Tämän tutkielman avulla lukija kuitenkin oppii tärkeitä äärellisten ryhmien ominaisuuksia ja saa hyvää pohjatietoa ryhmän kertaluvun vaikutuksesta ryhmän rakenteeseen.