Sylowin lauseista ja niiden yleistämisestä äärellisille ratkeaville ryhmille

Abstract

Tutkielman tarkoituksena on yleistää Sylowin lauseet äärellisille ratkeaville ryhmille. Tutkielma on kirjoitettu pääasiassa Joseph Rotmanin teoksen ”Graduate Texts in Mathematics; An Introduction to the Theory of Groups” (Springer-Verlag, New York, 1995) pohjalta.

Tutkielman alussa esitetään ryhmäteorian perusteita, jotka vaaditaan tutkielman ymmärtämiseksi. Ensimmäisessä luvussa tarkastellaan muun muassa käsitteitä; alkion konjugaatti, sentralisoija, stabiloija ja rata, ryhmän keskus, kompleksi, aliryhmän konjugaatti ja normalisoija, homomorfismi, ryhmän esitys ja vaikutus. Lisäksi luvussa todistetaan kolme isomorfismilausetta ja Cauchyn lause. Tutkielman toisessa luvussa tutustutaan ryhmän Sylowin p-aliryhmiin ja Sylowin lauseisiin, joiden avulla voidaan tarkastella äärellisen ryhmän rakennetta. Kolmannessa luvussa määritellään ratkeava ryhmä ratkeavan sarjan pohjalta. Lisäksi luvussa tarkastellaan ryhmän karakteristisia aliryhmiä ja kommutaattorialiryhmiä, joiden avulla todistetaan muutamia ratkeavuuskriteerejä. Luvun lopussa tarkastellaan ryhmän minimaalisen normaalin aliryhmän ominaisuuksia.

Viidennessä luvussa tutustutaan Hallin aliryhmiin ja ryhmän p-komplementteihin. Tutkielman päätuloksena saadaan Hallin lauseet eli Sylowin lauseiden yleistykset äärellisille ratkeaville ryhmille. Ensimmäisen Hallin lauseen mukaan kertalukua ab olevalla äärellisellä ratkeavalla ryhmällä on olemassa kertalukua a oleva aliryhmä, kun a ja b ovat keskenään jaottomia. Lisäksi kertalukua a olevat aliryhmät konjugoivat keskenään. Jos äärellisellä ryhmällä on p-komplementti aina, kun p on alkuluku, niin Hallin toisen lauseen mukaan ryhmä on ratkeava.