Siegel’s lemma and Minkowski’s theorems

Abstract

The subject of the work is geometry of numbers, which uses geometric arguments in n-dimensional euclidean space to prove arithmetic results. Siegel’s and Minkowski’s existential theorems are studied: When dealing with a group of linear equations where the number of unknowns exceeds the number of equations, Siegel’s lemma confirms the existence of a non-trivial solution whose size is bounded by a certain positive function depending on the coefficients of the linear forms and the number of unknowns. Minkowski’s theorems in turn concern convex bodies and lattices in n-dimensional euclidean space: when a convex body satisfies a specific condition with respect to the lattice, it is bound to intersect the lattice in a non-zero point. A selection of Diophantine inequalities is presented in order to illustrate the remarkable usefulness of this fact. Finally, Bombieri-Vaaler version of Siegel’s lemma is applied with the aim of improving (in rational case) a result of Ernvall-Hytönen, Leppälä and Matala-aho on Hermite-Padé type approximations (An explicit Baker type lower bound for linear forms, Lemma 4.1).

The main sources, in addition to the above-mentioned article, are A geometric face of Diophantine analysis by Matala-aho (lecture notes), Lectures on Transcendental numbers by Mahler (Springer-Verlag, 1976) and Diophantine approximation by Evertse (lecture notes).

Työn aiheena on lukujen geometria, jossa todistetaan aritmeettisia tuloksia käyttäen apuna geometriaa n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Aluksi perehdytään Siegelin ja Minkowskin olemassaolotuloksiin: Kun lineaarisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä ylittää yhtälöiden määrän, Siegelin lemma varmistaa nollasta poikkeavan ratkaisun olemassaolon, jonka kokoa rajoittaa tietty yhtälöryhmän kertoimista ja tuntemattomien määrästä riippuva positiivinen funktio. Minkowskin lauseet vuorostaan liittyvät konvekseihin kappaleisiin n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa: kun konveksi kappale toteuttaa tietyn ehdon hilan suhteen, sen sisältä löytyy aina nollasta poikkeava hilapiste. Tämän tuloksen merkittävyyttä havainnollistaa valikoima Diofantoksen epäyhtälöitä. Lopuksi sovelletaan Bombierin ja Vaalerin versiota Siegelin lemmasta tavoitteena parantaa (rationaalitapauksessa) Ernvall-Hytösen, Leppälän ja Matala-ahon tulosta liittyen Hermite-Padé-tyypin approksimaatioihin (An explicit Baker type lower bound for linear forms, Lemma 4.1).

Päälähteinä on edellä mainitun artikkelin lisäksi käytetty Matala-ahon luentomonistetta A geometric face of Diophantine analysis, Mahlerin kirjaa Lectures on Transcendental numbers (Springer-Verlag, 1976) sekä Evertsen luentomonistetta Diophantine approximation.