Abstraktin algebran rakenteista sekä niiden välisistä morfismeista

Abstract

Abstraktin algebran rakenteiden määrittely sekä niiden keskinäiset yhteydet on lähimpänä omaa ymmärrystä matematiikan saralla. Tämän soveltaminen peruskoulun yläluokille tai lukioon suuntautuvalla opettajaopiskelijalla olisi loistava saavutus. Lisäksi uudet matematiikan opiskelijat tarvitsevat lisää perusteiden pureskelua, jos tällaisia tekstejä päätyvät lukemaan.

Ensimmäinen algebrallinen rakenne, joka tulee vastaan opintojen edetessä on ryhmä. Kuitenkin ensimmäinen lukujoukko, luonnolliset luvut, ja yhteenlasku eivät muodosta ryhmää. Muita vastaavia yhdistelmiä on, jotka tulevat jo alakoululaiselle tutuksi ja niitä ohjaavat selkeät säännöt, mutta niiden luokittelu jää syvemmin algebraan perehtyvän omille harteille.

Työssä tarkastellaan ja yhdistetään abstraktiin algebraan olennaisia ominaisuuksia ja esitellään niiden pohjalta abstraktin algebran perusrakenteita. Perusteet näille ovat olleet jo olemassa, mutta usein kirja kuin kirja aloittaa niin ikään ryhmästä ja sivuuttaa tämänkin rakenteen perustan, magman. Puoliryhmä ja monoidi tullevat opiskelijalle tutuksi renkaiden teorian yhteydessä. Kvasiryhmä ja silmukka olivat itselle vieraita nimityksiä, mutta niidenkin takaa löytyy tutkimusta ja käyttötarkoituksia kategoriateorian puolella. Homomorfismi ja etenkin ryhmähomomorfismi on sittemmin tuttu käsite algebraa opiskeleville, mutta algebrallisten rakenteiden väliset suhteet ulottuvat myös magman tasolle.

Tutkielman alulle laittava herrojen Baumslag ja Chandler vuonna 1968 julkaistu Shaum’s outline of theory and problems of group theory aloittaa algebrallisten rakenteiden määrittelyn grupoidista, eli magmasta. Grupoidi nimitys on lähinnä käytössä kategoriateorian puolella, mutta pätee edelleen vaihtoehtoisena nimityksenä. Tutkielma on sekoitus kirjallisuuden tarkastelua ja oman päättelykyvyn hyödyntämistä sille sopivissa tilanteissa.

Tutkielma sopisi aloitteleville matematiikan opiskelijoille ja abstraktiin algebraan perehtyville. Perehtyneillekin perusasioiden kertaaminen on aina tarpeen.