Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisumetodit sekä polynomikongruenssi

Abstract

Tutkielma käsittelee kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavoja sekä polynomien kongruenssia.

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille voidaan johtaa ratkaisumetodit, joiden avulla löydetään kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisut. Cardanon metodilla voidaan ratkaista kolmannen asteen reaalilukukertoimisia polynomiyhtälöitä. Metodin pitkähkö teoreettinen johtaminen voidaan tiivistää muutamaan pääkohtaan, joissa yhtälön kertoimia käyttäen määritetään arvoja joita käytetään yhtälön ratkaisujen saamiseksi.

Ferrarin metodilla voidaan ratkaista neljännen asteen reaalilukukertoimisia yhtälöitä. Ferrarin metodi perustuu siihen, että neljännen asteen yhtälö saadaan sopivien sijoitusten avulla palautumaan toisen ja kolmannen asteen yhtälöiksi. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on tuttu jo lukiotason matematiikasta ja kolmannen asteen yhtälön ratkaisut saadaan Cardanon metodia käyttämällä.

Polynomirenkaan polynomien kongruenssi määritellään siten, että polynomirenkaan polynomit f(x) ja g(x) ovat kongruentteja keskenään modulo p(x), mikäli polynomi p(x) on tekijänä polynomien f(x) ja g(x) erotuksessa. Itse asiassa voidaan osoittaa, että polynomit f(x) ja g(x) ovat kongruentteja keskenään modulo p(x) jos ja vain jos niiden jakojäännös polynomilla p(x) jakamisen jälkeen on sama. Polynomien kongruenssi voidaan osoittaa ekvivalenssirelaatioksi polynomirenkaassa K[x].

Polynomien kongruenssiin perustuen voidaan määritellä polynomirenkaan K[x] polynomien määräämien ekvivalenssiluokkien modulo p(x) joukko. Kaikki polynomirenkaan K[x] polynomit kuuluvat aina johonkin ekvivalenssiluokkaan modulo p(x). Se, mihin ekvivalenssiluokkaan jokin mielivaltainen polynomirenkaan K[x] polynomi kuuluu, selviää jakamalla tutkittava polynomi polynomilla p(x). Saatu jakojäännös määrää aina sen ekvivalenssiluokan, johon tutkittava polynomi kuuluu.

Ekvivalenssiluokkien joukko voidaan osoittaa kommutatiiviseksi renkaaksi. Tällöin ekvivalenssiluokkien joukon on oltava summaoperaation suhteen Abelin ryhmä, tulo-operaation suhteen puoliryhmä, jossa on ykkösalkio ja osittelulakien tulee olla voimassa. Lisäksi renkaan tulee olla kommutatiivinen tulo-operaation suhteen. Lisäksi voidaan osoittaa, että kyseessä oleva kommutatiivinen rengas sisältää kunnan K. Tämän todistamiseksi osoitetaan, että kommutatiivinen rengas sisältää alirenkaan, joka muodostuu kommutatiivisen renkaan niistä alkioista, jotka ovat vakiopolynomien määräämiä ekvivalenssiluokkia. Lisäksi osoitetaan, että saatu alirengas on isomorfinen kunnan K kanssa.

Ekvivalenssiluokkien joukko on siis kommutatiivinen rengas, joka sisältää kunnan K. Itse asiassa voidaan osoittaa, että ekvivalenssiluokkien joukko on kunta, kun polynomi p(x) on jaoton. Tarkemmin sanottuna, ekvivalenssiluokkien joukko on kunta jos ja vain jos polynomi p(x) on jaoton.

Polynomikongruenssiin perustuen on saatu määriteltyä ekvivalenssiluokkien modulo p(x) joukko, joka on kunta ja jossa polynomi p(x) on jaoton. Saatu kunta sisältää kunnan K, kun käytetyt polynomit ovat polynomirenkaasta K[x]. Voidaan osoittaa, että polynomirenkaan K[x] jaoton polynomi p(x) voidaan jakaa tekijöihin ekvivalenssiluokkien modulo p(x) muodostamassa polynomirenkaassa.