Lokaalisti kompaktien ryhmien esitykset

Abstract

The topic of this thesis is representation theory. The idea of representation theory is to represent an algebraic object, such as a locally compact group or an algebra, as a more concrete group or algebra consisting of matrices or operators. In this way we can study an algebraic object as collection of symmetries of a vector space. Hence we can apply the methods of linear algebra and functional analysis to the study of groups and algebras. The aim of the thesis is to prove three fundamental theorems in the representation theory of locally compact groups, namely Schur’s lemma, the Gelfand-Raikov theorem, and the Peter-Weyl theorem.

Chapter 1 covers the results of Banach algebra and C*-algebra theory that we need for representation theory. The main theorem of this chapter is the spectral theorem for normal operators.

In Chapter 2 we study locally compact groups and present basic results of Haar measures. Using the Haar measure we can define convolution of functions. The properties of this convolution are then investigated. We conclude the chapter with the construction of approximate identities.

In Chapter 3 we get to the main theme of the thesis, that is representation theory. We present the basic concepts of unitary representations of locally compact groups. The first important result is Schur’s lemma, which describes irreducibility of a representation in terms of commuting operators. Then we describe the connection between unitary representations of a locally compact group and nondegenerate *-representations of the group algebra. In the last part of the chapter we study functions of positive type. We establish a correspondence between these functions and cyclic unitary representations. Then we can prove the last major result of the chapter, the Gelfand-Raikov theorem, which guarantees that locally compact groups have enough irreducible representations to separate points.

The representations of compact groups are particularly well behaved, which we shall show in Chapter 4. We summarize the results of this chapter in the Peter-Weyl theorem.

Tämän tutkielman aiheena on esitysteoria. Esitysteorian idea on esittää algebrallinen objekti, kuten esimerkiksi lokaalisti kompakti ryhmä tai algebra, konkreettisempana ryhmänä tai algebrana joka koostuu matriiseista tai operaattoreista. Tällä tavalla algebrallisia objekteja voidaan tutkia jonkin vektoriavaruuden symmetrioiden kokoelmana. Täten voimme soveltaa lineaarialgebraa ja funktionaalianalyysiä ryhmien ja algebrojen tutkimiseen. Tutkielman päämääränä on todistaa kolme keskeistä lausetta lokaalisti kompaktien ryhmien esitysteoriassa, nimittäin Schurin lemma, Gelfand-Raikovin lause ja Peter-Weylin lause.

Ensimmäisessä kappaleessa käsitellään Banachin algebrojen ja C*-algebrojen teoriaa, jota tarvitsemme esitysteoriassa. Tämän kappaleen päälause on spektraalilause normaaleille operaattoreille. Toisessa kappaleessa tutkitaan lokaalisti kompakteja ryhmiä ja esitellään Haarin mittojen ominaisuuksia. Haarin mitan avulla voidaan määritellä funktioiden konvoluutio. Sitten konvoluution ominaisuuksiin perehdytään ja konstruoidaan approksimatiivisia identiteettejä.

Kolmannessa kappaleessa päästään tutkielman varsinaiseen aiheeseen, eli esitysteoriaan. Kappaleen alussa esitetään lokaalisti kompaktien ryhmien unitaaristen esityksien perusteita. Ensimmäinen tärkeä lause on Schurin lemma, joka kuvailee esityksen redusoimattomuuden kommutoivien operaattoreiden avulla. Tämän jälkeen esitetään ryhmien esitysten ja ryhmäalgebran esityksien välinen yhteys. Kappaleen viimeisessä osassa tutkitaan positiivisesti definiittejä funktioita. Syvennymme näiden funktioiden ja syklisten esitysten väliseen vastaavuuteen. Tämän jälkeen todistetaan Gelfand-Raikovin lause, joka takaa että jokaisella lokaalisti kompaktilla ryhmällä on riittävästi redusoimattomia esityksiä erottelemaan ryhmän pisteet.

Kompaktien ryhmien esitykset käyttäytyvät erityisen hyvin, mikä käy ilmi viimeisessä kappaleessa. Peter-Weylin lause on yhteenveto kappaleen tuloksista.