Pinnat avaruudessa

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee kolmiulotteisen reaaliavaruuden kappaleita, joita kutsutaan pinnoiksi. Pinnan käsitteellä tarkoitetaan kaksiulotteista sileää kappaletta, jonka jokainen osa-alue voidaan kuvata joltakin tasolta jatkuvalla injektiolla. Pinta siis voidaan kuvata aina siten että funktio säilyttää kaksi muuttujan arvoa samoina ja määrää kolmannen näiden kahden perusteella. Tällaista funktiota, joka määrää pinnan, kutsutaan peitefunktioksi. Käytännössä kaikki pintoihin liittyvä operointi tapahtuu peitefunktioiden kautta. Peitefunktion toinen muuttuja kiinnitetään vakioksi, jolloin sen kuvaus tuottaa puhtaan käyrän.

Pintojen operointi perustuu ajatukseen, että kyseessä on vain yksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden aliavaruus, jossa differentiaalilaskenta ja muut laskutoimitukset toteutuvat samoin kuin yleisessäkin tapauksessa. Jos halutaan tutkia pelkästään pinnalla olevan tietyn funktion käyttäytymistä, luodaan yhdistetty funktio, jonka sisäfunktiona on pinnan peitefunktio ja ulkofunktiona varsinainen tutkittava funktio, jolloin määrittelyjoukkona on vain jokin yksinkertainen taso.

Funktio voidaan myös asettaa kahden erillisen pinnan välille siten että ensimmäinen pinta toimii lähtöjoukkona ja toinen maalijoukkona. Tämä tapahtuu luomalla yhdistelmäfunktio ensimmäisen pinnan peitefunktion palauttavasta käänteisfunktiosta, peitefunktioiden määrittelyjoukkoina olevien tasojen välisestä funktiosta sekä maalijoukkona olevan tason peitefunktiosta. Kolmen eri derivoituvan funktion yhdistelmäfunktio toteuttaa kaikki yleisimmät laskutoimitukset.

Samoin kuin derivoinnin yhteydessä, myös integroinnissa pinnalla määritelty funktio on palautettava peitefunktion avulla takaisin tasolle ja operoitava siellä. Integrointi suoritetaan käyrää pitkin yhden muuttujan tapauksessa niinkuin yleisessäkin tapauksessa ja usean muuttujan integrointi suoritetaan määrittelyalueena toimivan suorakaiteen reunoja pitkin suuntaan tai toiseen.

Tutkielman loppupuolella luodaan vielä silmäys pintojen topologisiin ominaisuuksiin, joista esille nousee kolme ominaisuutta, joiden avulla voidaan tarkastella pinnan yhtenäisyyttä, sen pinta-alan äärellisyyttä ja sitä, onko kyseessä yksi vaiko kaksipuolinen kappale.

Aivan lopuksi tutkaillaan vielä monistoja, jotka ovat kolmiulotteisen pinnan yleistyksiä useampiulotteiselle avaruudelle. Tässä tapauksessa kolmiulotteisten pintojen tietyt itsestäänselvät ominaisuudet ovat mahdottomia osoittaa, mikä mutkistaa tutkimista.