Forest management optimization according to nonlinear partial differential equation (PDE) and gradient based optimization algorithm

Abstract

<div lang="en" class="abs"><p class="abs_header">Abstract</p><p>Forest growth models are used in optimizing forest stand management in order to produce stand projections. In stand-level optimization, timing of thinnings and trees to be cut — as well as timing for clearcutting are determined according to an optimization algorithm which maximizes the objective function. Models are roughly divided into stand-level models, structured population models and individual-tree models. Stand-level models are the simplest and individual-tree models the most complicated. It is always best to choose the simplest model which gives the wanted accuracy (Occam’s razor principle). Furthermore, the choice of growth model clearly determines the choice of an optimization algorithm. Dynamic programming algorithms i.e. algorithms which use derivatives are more effective, but calculating derivatives is not always possible.</p><p>In this dissertation, the aim was to build a size-structured forest stand management optimization model and a dynamic programming algorithm to solve it. In Article I, discrete diameter-structured matrix model was used to form the optimization problem, whereas in Article II continuous diameter-structured population model was employed in the forming. In Article II, we presented an optimization algorithm based on a gradient method. In addition to a more efficient forest management optimization method, the aim was to develop an optimization model which can be used to study monetary benefits of forest tree breeding. For doing that, adding variation inside the diameter class is important since e.g. distribution of height or branch properties are different in improved trees. In Article III, a model was presented in which height variation was added inside diameter classes.</p><p>This dissertation presents detailed explanation on how to use a gradient method algorithm to optimize forest stand management. The optimization results of the conducted analysis were compared with the results gained from an empirical-statistical MOTTI stand simulator and a direct search optimization algorithm PIKAIA. There were no big differences between the results. Therefore, the size-structured population model with a gradient method might be a good alternative to more complex models. Finally, in Article III it is shown that adding variation to a diameter structured population model affects optimal management.</p></div>

<div lang="fi" class="abs"><p class="abs_header">Tiivistelmä</p><p>Metsänkäsittelyn optimoinnissa metsikön kehitystä ennustetaan puuston kasvumallien avulla. Metsikkötason optimoinnissa optimointialgoritmi määrittää objektifunktion maksimoivat harvennusten ajankohdat, niissä poistettavat puut ja päätehakkuun ajankohdan. Mallit jaetaan karkeasti metsikkötason malleihin, populaatiomalleihin ja puukohtaisiin malleihin. Metsikkötason mallit ovat yksinkertaisimpia ja puukohtaiset mallit monimutkaisimpia. Lähtökohtaisesti järkevintä on valita yksinkertaisin malli, joka antaa halutun tarkkuuden (Occamin partaveitsiperiaate). Lisäksi kasvumallin valinnalla on vaikutusta optimointialgoritmin valintaan. Algoritmit, jotka käyttävät derivaattaa, ovat tehokkaampia, mutta derivaatan laskeminen ei ole mahdollista kaikille malleille.</p><p>Tässä väitöskirjassa tavoitteena oli muodostaa kokojakautunut metsänkäsittelyn optimointiongelma ja sen ratkaisemiseksi derivaattaa hyödyntävä algoritmi. Optimointiongelman muodostamiseen käytetään artikkelissa I diskreettiä läpimittajakautunutta matriisimallia ja artikkelissa II jatkuvaa läpimittajakautunutta populaatiomallia. Artikkelissa II esittelimme optimointialgoritmin, joka perustuu gradienttimenetelmään. Tehokkaamman metsänkäsittelyn optimointialgoritmin lisäksi tavoitteena oli kehittää optimointimalli, jonka avulla voidaan tutkia metsänjalostuksen taloudellisia hyötyjä. Sitä varten on tärkeää lisätä vaihtelua läpimittaluokan sisälle, koska esimerkiksi jalostettujen puiden pituusjakauma tai oksien ominaisuuksien jakaumat ovat erilaisia verrattuna jalostamattomiin puihin. Artikkelissa III esitellään malli, jossa läpimittajakauman sisälle on lisätty pituuden vaihtelua.</p><p>Tässä väitöskirjassa esitetään yksityiskohtaisesti, kuinka gradienttimenetelmään perustuvaa algoritmia käytetään metsänkäsittelyn optimoinnissa. Saatuja optimointituloksia verrattiin empiiris-tilastollisella MOTTI-metsikkösimulaattorilla ja heuristisella PIKAIA-optimointialgoritmilla saatuihin tuloksiin. Tulosten välillä ei ollut suuria eroja. Siksi kokojakautunut populaatiomalli ja gradienttimenetelmä saattaa olla hyvä vaihtoehto monimutkaisemmille malleille. Lisäksi artikkelissa III osoitetaan, että esimerkiksi pituusvaihtelun lisäämisellä läpimittajakautuneeseen populaatiomalliin on vaikutusta optimaaliseen metsänkäsittelyyn.</p></div>

<div lang="en" class="abs"><p class="abs_header">Original papers</p><p>Original papers are not included in the electronic version of the dissertation.</p><ol type="I"><li><p>Pyy, J., Ahtikoski, A., Laitinen, E., & Siipilehto, J. (2017). Introducing a Non-Stationary Matrix Model for Stand-Level Optimization, an Even-Aged Pine (Pinus Sylvestris L.) Stand in Finland. Forests, 8(5), 163. <a href="https://doi.org/10.3390/f8050163">https://doi.org/10.3390/f8050163</a></p><p><a href="https://urn.fi/urn:nbn:fi-fe201901293402">Self-archived version</a></p></li><li><p>Pyy, J., Ahtikoski, A., Lapin, A., & Laitinen, E. (2018). Solution of Optimal Harvesting Problem by Finite Difference Approximations of Size-Structured Population Model. Mathematical and Computational Applications, 23(2), 22. <a href="https://doi.org/10.3390/mca23020022">https://doi.org/10.3390/mca23020022</a></p><p><a href="https://urn.fi/urn:nbn:fi-fe201901293405">Self-archived version</a></p></li><li><p>Pyy, J., Laitinen, E., & Ahtikoski, A. (2020). Demonstrating the Effect of Height Variation on Stand-Level Optimization with Diameter-Structured Matrix Model. Forests, 11(2), 226. <a href="https://doi.org/10.3390/f11020226">https://doi.org/10.3390/f11020226</a></p><p><a href="https://urn.fi/urn:nbn:fi-fe2020120198900">Self-archived version</a></p></li></ol></div>

<div lang="fi" class="abs"><p class="abs_header">Osajulkaisut</p><p>Osajulkaisut eivät sisälly väitöskirjan elektroniseen versioon.</p><ol type="I"><li><p>Pyy, J., Ahtikoski, A., Laitinen, E., & Siipilehto, J. (2017). Introducing a Non-Stationary Matrix Model for Stand-Level Optimization, an Even-Aged Pine (Pinus Sylvestris L.) Stand in Finland. Forests, 8(5), 163. <a href="https://doi.org/10.3390/f8050163">https://doi.org/10.3390/f8050163</a></p><p><a href="https://urn.fi/urn:nbn:fi-fe201901293402">Rinnakkaistallennettu versio</a></p></li><li><p>Pyy, J., Ahtikoski, A., Lapin, A., & Laitinen, E. (2018). Solution of Optimal Harvesting Problem by Finite Difference Approximations of Size-Structured Population Model. Mathematical and Computational Applications, 23(2), 22. <a href="https://doi.org/10.3390/mca23020022">https://doi.org/10.3390/mca23020022</a></p><p><a href="https://urn.fi/urn:nbn:fi-fe201901293405">Rinnakkaistallennettu versio</a></p></li><li><p>Pyy, J., Laitinen, E., & Ahtikoski, A. (2020). Demonstrating the Effect of Height Variation on Stand-Level Optimization with Diameter-Structured Matrix Model. Forests, 11(2), 226. <a href="https://doi.org/10.3390/f11020226">https://doi.org/10.3390/f11020226</a></p><p><a href="https://urn.fi/urn:nbn:fi-fe2020120198900">Rinnakkaistallennettu versio</a></p></li></ol></div>