Ketjumurtoluvut ja lineaariset Diofantoksen yhtälöt

Abstract

Luk-tutkielmassa käsitellään äärellisiä yksinkertaisia ketjumurtolukuja ja niiden ominaisuuksia sekä lineaarisia Diofantoksen yhtälöitä. Äärellisiä yksinkertaisia ketjumurtolukuja voidaan ajatella rationaalilukujen eräänlaisena laajennuksena. Voidaan nimittäin todistaa, että mikä tahansa äärellinen yksinkertainen ketjumurtoluku on rationaaliluku ja mikä tahansa rationaaliluku voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna. Äärellisellä yksinkertaisella ketjumurtoluvulla on matemaattisessa mielessä tärkeitä ominaisuuksia, joista merkittävin on konvergentti. Konvergentilla tarkoitetaan äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun osittaista esitysmuotoa. Konvergentin ominaisuuksien avulla voidaan puolestaan ratkoa erilaisia Lineaarisia Diofantoksen yhtälöitä. Lineaariset Diofantoksen yhtälöt ovat yhtälöitä, joissa on useampia tuntemattomia muuttujia, joille halutaan etsiä yhtälön toteuttavat kokonaislukuratkaisut. Monet matemaattiset pulmatehtävät ja kompakysymykset johtavat useimmiten Lineaaristen Diofantoksen yhtälöiden tilanteisiin. Tutkielmassa käsitellään yksinkertaisen epähomogeenisen lineaarisen Diofantoksen yhtälön erilaiset tilanteet tapauskohdittain. Tilanteiden tapauskohtainen käsittely sitoo äärellisten yksinkertaisten ketjumurtolukujen ominaisuudet lineaarisiin Diofantoksen yhtälöihin.