Euklidiset renkaat

Abstract

Tutkielmaa varten lukijalla on hyvä olla peruskäsitys kongruenssista ja algebrallisista ryhmärakenteista sekä niiden operaatioista. Alussa käsitelään renkaiden ja niiden ideaalien määritelmiä ja ominaisuuksia ja laajennetaan siitä kokonaisalueen määritelmään, jossa kahden renkaan nolla-alkiosta eroavien alkioiden kertolaskuoperaation tulos ei voi olla renkaan nolla-alkio, millään alkioilla. Tutkielmassa käydään myös läpi kuntien ja polynomirenkaiden määritelmä, sillä niistä on hyödynnettävissä muutama esimerkki ja lause tutkielman loppua varten.

Kokonaisalueen määritelmää käyttäen käsitellään euklidisen renkaan määritelmä, jossa kokonaisalueelle määritellään astefunktio ja tämän astefunktion avulla määriteltävä jakoalgoritmi. Tämän jälkeen käsitellään euklidisten renkaiden ominaisuuksia kuten, että jokainen euklidinen rengas on pääideaalirengas sekä yleisen jakajan määritelmä. Lopuksi tutkielma päätetään näiden ominaisuuksien ja muutaman apulemman avulla päästävään Fermat’n kahden neliön lauseeseen, jonka mukaan pariton alkuluku p≡1 mod 4 jos ja vain jos on olemassa kokonaisluvut a ja b siten, että alkuluku p voidaan esittää lukujen a ja b neliöiden summana.