Ketjumurtoluvut

Abstract

Pro gradu työni käsittelee ketjumurtolukuja. Ketjumurtoluvut jaetaan äärellisiin ja äärettömiin eli päättyviin ja päättymättömiin ketjumurtolukuihin, joiden ominaisuuksia käsittelen työssä. Päättymättömät ketjumurtoluvut voidaan vielä erikseen jakaa jaksollisiin ja jaksottomiin. Jotta ketjumurtolukuja voi käsitellä, tarvitaan alkuun muutamia hyödyllisiä lauseita ja määritelmiä, joita hyödynnetään ketjumurtolukujen määrittelyssä. Tällaisia määritelmiä ovat muun muassa lattiafunktion määritelmä, jolla luvuista erotellaan kokonaisosa ja toinen hyödyllinen määritelmä on Eukleideen algoritmi.

Työssä esitellään äärellinen ketjumurtoluku ja äärellinen yksinkertainen ketjumurtoluku, jotka kuuluvat rationaalilukuihin. Äärellisellä ketjumurtoluvulla ja äärellisellä yksinkertaisella ketjumurtoluvulla on olemassa aina jokin pituus. Lisäksi työssä määritellään ketjumurtoluvulle konvergentin käsite ja konvergentille kuuluvia ominaisuuksia.

Jaksottomista ja jaksollisista ketjumurtoluvuista puhuttaessa kyseessä ovat päättymättömät ketjumurtoluvut ja sen yksinkertainen muoto päättymättömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut. Tällaiset ketjumurtoluvut ovat sellaisia, että niille ei ole määritetty pituutta, mikä äärellisille ketjumurtoluvuille onnistuu. Työssä todistetaan, että päättymätön yksinkertainen ketjumurtoluku on irrationaaliluku ja irrationaaliluvut ovat päättymättömiä ketjumurtolukuja.

Työssä käsiteltäville jaksollisille ketjumurtoluvuille tunnettu ominaisuus on, että niissä toistuu aina sama jakso, jolle voidaan määrittää jakson pituus. Ennen jaksollisia ketjumurtolukuja määritellään neliöityvät irrationaaliluvut ja muutama ominaisuus näille neliöityville irrationaaliluvuille. Neliöityville irrationaaliluvuille todistetaan sitten, että ne ovat jaksollisia ketjumurtolukuja. Lopuksi vielä määritetään redusoitu irrationaaliluku ja puhdas jaksollisuus, joka tarkoittaa sitä, että ketjumurtolukuesityksen jakso alkaa jo kokonaisosasta.