Kuntalaajennus
Kastell, Lotta (2021-12-20)
L. Kastell
20.12.2021
© 2021 Lotta Kastell. Tämä Kohde on tekijänoikeuden ja/tai lähioikeuksien suojaama. Voit käyttää Kohdetta käyttöösi sovellettavan tekijänoikeutta ja lähioikeuksia koskevan lainsäädännön sallimilla tavoilla. Muunlaista käyttöä varten tarvitset oikeudenhaltijoiden luvan.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202112209424
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202112209424
Tiivistelmä
Tutkielmassa on käytetty lähteenä pääasiassa J. J. Rotmannin teosta Advanced Modern Algebra.
Ensimmäisessä luvussa käsitellään renkaiden, ideaalien, kuntien, polynomirenkaiden ja jaottomien polynomien määritelmiä sekä niihin liittyviä tärkeimpiä lauseita. Luvussa käsitellään myös pari esimerkkiä, joita hyödynnetään toisessa luvussa käsiteltävässä esimerkissä, sekä jakoalgoritmi, jota käytetään kolmannessa luvussa käsiteltävässä esimerkissä.
Toisessa luvussa määritellään tekijärengas, joka muodostetaan kommutatiivisesta renkaasta ja sen ideaalista. Lisäksi otetaan esimerkki tekijärenkaasta ja käydään läpi sen alkioiden väliset operaatiot.
Kolmannessa luvussa esitetään kuntalaajennuksen määrittelevä lause ja esimerkki, jossa laajennetaan reaalilukukunta tekijärenkaan avulla kompleksilukukunnaksi. Kuntalaajennuksen ideana on muodostaa kunnasta K polynomirengas K[x], josta otetaan jaoton polynomi p(x). Jaottomasta polynomista p(x) muodostetaan pääideaali (p(x)), ja polynomirenkaasta K[x] ja pääideaalista (p(x)) tekijärengas K[x]/(p(x)). Osoitetaan, että muodostettu tekijärengas K[x]/(p(x)) on rakenteeltaan kunta.
Ensimmäisessä luvussa käsitellään renkaiden, ideaalien, kuntien, polynomirenkaiden ja jaottomien polynomien määritelmiä sekä niihin liittyviä tärkeimpiä lauseita. Luvussa käsitellään myös pari esimerkkiä, joita hyödynnetään toisessa luvussa käsiteltävässä esimerkissä, sekä jakoalgoritmi, jota käytetään kolmannessa luvussa käsiteltävässä esimerkissä.
Toisessa luvussa määritellään tekijärengas, joka muodostetaan kommutatiivisesta renkaasta ja sen ideaalista. Lisäksi otetaan esimerkki tekijärenkaasta ja käydään läpi sen alkioiden väliset operaatiot.
Kolmannessa luvussa esitetään kuntalaajennuksen määrittelevä lause ja esimerkki, jossa laajennetaan reaalilukukunta tekijärenkaan avulla kompleksilukukunnaksi. Kuntalaajennuksen ideana on muodostaa kunnasta K polynomirengas K[x], josta otetaan jaoton polynomi p(x). Jaottomasta polynomista p(x) muodostetaan pääideaali (p(x)), ja polynomirenkaasta K[x] ja pääideaalista (p(x)) tekijärengas K[x]/(p(x)). Osoitetaan, että muodostettu tekijärengas K[x]/(p(x)) on rakenteeltaan kunta.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [38670]