Puoliryhmät

Abstract

Suuremmalle yleisölle ryhmät ovat varmasti tunnetumpi algebrallinen rakenne, kuin puoliryhmät. Puoliryhmät toteuttavat nimensä mukaisestikin puolet ryhmän neljästä ominaisuudesta. Puoliryhmät ovat siis binäärisellä ja assosiatiivisella operaatiolla varustettuja epätyhjiä joukkoja. Puoliryhmiä voidaan tarkastella sekä topologisesta, että algebrallisesta näkökulmasta. Näillä on kuitenkin paljon yhtäläisyyksiä. Topologisia puoliryhmiä on tutkittu enemmänkin, mutta algebrallisen teorian kannalta puoliryhmät on melko uusi asia matematiikan historiassa.

Tutkielma käsittelee puoliryhmiä enimmäkseen algebrallisesta näkökulmasta, mutta lopussa esitellään myös topologiset puoliryhmät. Tutkielma alkaa puoliryhmän määrittelyllä sekä esittelemällä muutamia esimerkkejä yksinkertaisimmista puoliryhmistä. Puoliryhmiin liittyy ryhmäteoriastakin tutut alkiot ideaali, käänteisalkio ja peruuttava. Uudempana asiana esitellään idempotentit, joiden olemassaolo on tärkeä osa puoliryhmiä tutkittaessa. Idempotentti on sellainen alkio x, että xx = x. Jotta idempotentit eivät jäisi vain teorian tasolle, on tutkielmassa esitetty esimerkkejä puoliryhmistä, joissa on yksi tai useampi idempotentti. Tutkielman yksi tärkeimmistä tuloksista on Lause 3.2. Tässä lauseessa todistetaan induktiivisesti, että äärellinen puoliryhmä sisältää aina idempotentin.

Lukijalle ideaalit saattavat olla rengasteoriasta tuttu käsite. Kappaleissa 6 ja 7 käsitellään puoliryhmiä, jotka sisältävät minimaalisen vasemman ideaalin. Yksi tutkielman tärkeimmistä lauseista on Rakennelause (Lause 7.10), joka käsittelee puoliryhmän, joka sisältää idempotentin sisältävän minimaalisen vasemman ideaalin, ja sen ideaalien rakenteita.

Lopuksi tutustutaan vielä topologisiin puoliryhmiin, joiden ymmärtämiseksi oletetaan, että lukija on tutustunut topologiaan aikaisemmin. Tarvittavat topologiset käsitteet ja tulokset määritellään kuitenkin kappaleessa 8. Topologisiin puoliryhmiin liittyvistä tuloksista tärkein on Lause 9.17, jossa todistetaan, että kompakti puoliryhmä sisältää idempotentin. Todistus tehdään Zornin Lemman avulla. Lopussa esitetään Lauseet 9.23 ja 9.24, jotka todistavat, että idempotenttien joukko E(S) on suljettu tietyissä puoliryhmän S oloissa. Aina kuitenkaan E(S) ei ole suljettu. Tämä on mielenkiintoinen aihe, jota voi tutkielman tulosten pohjalta lähteä tutkimaan tarkemmin.

Tutkielman päälähteinä käytetään Berglundin, Junghennin ja Milnesin teosta Analysis on Semigroups: Function Spaces, Compactifications, Representations sekä Hindmanin ja Straussin teosta Algebra in the Stone-Cech Compactification: Theory and Applications.