Raja-arvo ja derivaatta pisteessä
Sun, Jialiang (2021-01-22)
J. Sun
22.01.2021
© 2021 Jialiang Sun. Tämä Kohde on tekijänoikeuden ja/tai lähioikeuksien suojaama. Voit käyttää Kohdetta käyttöösi sovellettavan tekijänoikeutta ja lähioikeuksia koskevan lainsäädännön sallimilla tavoilla. Muunlaista käyttöä varten tarvitset oikeudenhaltijoiden luvan.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202101231076
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-202101231076
Tiivistelmä
Tämä pro gradu -tutkielma on osa Oulun yliopiston projektia, jonka tarkoituksena on luoda avoin oppikirja lukion matematiikan kurssista MAA6. Oppimateriaali on suunnattu opetussuunnitelman mukaan vain pitkän matematiikan opiskelijoille. Materiaalin sisältö perustuu vuoden 2019 opetussuunnitelmaan sekä tieteellisiin artikkeleihin ja didaktisiin tutkimuksiin.
Tutkielmani koostuu viidestä osasta. Tutkielmani ensimmäisessä osassa esitellään projektiryhmässä ja opetussuunnitelmassa asetetut yleiset tavoitteet oppimateriaalille. Toisessa osassa perustellaan tarkasti oppimateriaalissa tehdyt päätökset tieteellisten artikkeleiden ja didaktisten tutkimusten kautta. Itse oppimateriaali on kolmannessa osassa. Neljännessä osassa on opettajan opas, jossa on opettajille lisätietoa oppimateriaalista. Viimeisenä on vastausosio oppimateriaalin tehtäville.
Oppimateriaalin aiheena on raja-arvo ja derivaatta pisteessä. Tämä on jaettu kahteen kappaleeseen. Ensimmäisessä kappaleessa tutkitaan tarkemmin mikä raja-arvo on sekä määritellään siihen liittyviä keskeisiä laskusääntöjä sekä käsitteitä. Raja-arvon osaamista pohjustetaan erilaisten pohdintatehtävien avulla. Asioiden osaamista vahvistetaan ja varmistetaan erilaisten harjoitustehtävien avulla. Suurin osa pohdintatehtävistä ja harjoitustehtävistä tehdään Geogebralla piirrettyjen kuvaajien avulla. Täsmällistä määritelmää raja-arvolle ei anneta, vaan tarkoituksena on pyrkiä saamaan havainnollinen käsitys raja-arvosta ja oppia muutamia laskutekniikoita. Raja-arvon tarkka määritelmä ei kuulu lukiomatematiikkaan.
Toisessa kappaleessa käsitellään funktion derivaattaa yksittäisessä pisteessä. Raja-arvon avulla johdatellaan derivaatan käsitteeseen ja johdetaan siihen liittyviä laskusääntöjä. Kappaleesta löytyy sekä teoriaosuus että esimerkkiosuus. Derivaatan teoriaa pohjustetaan erilaisten pohdintatehtävien avulla. Asioiden osaamista vahvistetaan ja varmistetaan erilaisten harjoitustehtävien avulla. Suurin osa pohdintatehtävistä ja harjoitustehtävistä tehdään Geogebralla piirrettyjen kuvaajien avulla. Aiheeseen ei sisälly derivaattafunktioita.
Itse laskemista tässä oppimateriaalissa on melko vähän, sillä tavoitteena on aktivoida opiskelijat pohtimaan, keskustelemaan ja käsittelemään matematiikkaa syvällisesti pelkän rutiininomaisen laskemisen sijaan. Laskuja tulee kuitenkin laskettua väistämättä, mutta ensisijaisina tavoitteina on antaa opiskelijoille parempi kuva matematiikasta tieteenä sekä motivoida opiskelijoita laajempaan ymmärrykseen matematiikan periaatteista.
Tutkielmani koostuu viidestä osasta. Tutkielmani ensimmäisessä osassa esitellään projektiryhmässä ja opetussuunnitelmassa asetetut yleiset tavoitteet oppimateriaalille. Toisessa osassa perustellaan tarkasti oppimateriaalissa tehdyt päätökset tieteellisten artikkeleiden ja didaktisten tutkimusten kautta. Itse oppimateriaali on kolmannessa osassa. Neljännessä osassa on opettajan opas, jossa on opettajille lisätietoa oppimateriaalista. Viimeisenä on vastausosio oppimateriaalin tehtäville.
Oppimateriaalin aiheena on raja-arvo ja derivaatta pisteessä. Tämä on jaettu kahteen kappaleeseen. Ensimmäisessä kappaleessa tutkitaan tarkemmin mikä raja-arvo on sekä määritellään siihen liittyviä keskeisiä laskusääntöjä sekä käsitteitä. Raja-arvon osaamista pohjustetaan erilaisten pohdintatehtävien avulla. Asioiden osaamista vahvistetaan ja varmistetaan erilaisten harjoitustehtävien avulla. Suurin osa pohdintatehtävistä ja harjoitustehtävistä tehdään Geogebralla piirrettyjen kuvaajien avulla. Täsmällistä määritelmää raja-arvolle ei anneta, vaan tarkoituksena on pyrkiä saamaan havainnollinen käsitys raja-arvosta ja oppia muutamia laskutekniikoita. Raja-arvon tarkka määritelmä ei kuulu lukiomatematiikkaan.
Toisessa kappaleessa käsitellään funktion derivaattaa yksittäisessä pisteessä. Raja-arvon avulla johdatellaan derivaatan käsitteeseen ja johdetaan siihen liittyviä laskusääntöjä. Kappaleesta löytyy sekä teoriaosuus että esimerkkiosuus. Derivaatan teoriaa pohjustetaan erilaisten pohdintatehtävien avulla. Asioiden osaamista vahvistetaan ja varmistetaan erilaisten harjoitustehtävien avulla. Suurin osa pohdintatehtävistä ja harjoitustehtävistä tehdään Geogebralla piirrettyjen kuvaajien avulla. Aiheeseen ei sisälly derivaattafunktioita.
Itse laskemista tässä oppimateriaalissa on melko vähän, sillä tavoitteena on aktivoida opiskelijat pohtimaan, keskustelemaan ja käsittelemään matematiikkaa syvällisesti pelkän rutiininomaisen laskemisen sijaan. Laskuja tulee kuitenkin laskettua väistämättä, mutta ensisijaisina tavoitteina on antaa opiskelijoille parempi kuva matematiikasta tieteenä sekä motivoida opiskelijoita laajempaan ymmärrykseen matematiikan periaatteista.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [34357]