Sylowin lauseet

Abstract

Ryhmä on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta ja sen alkioiden välisestä binäärisestä ja assosiatiivisesta operaatiosta. Mikäli joukko on äärellinen, puhutaan äärellisestä ryhmästä. Operaation binäärisyys tarkoittaa, että alkioiden välinen operaatio kuuluu aina edelleen joukkoon ja assosiatiivisuus tarkoittaa, että lopputulos ei riipu siitä, miten sulkeet on aseteltu alkioiden välisessä operaatiossa. Ryhmässä on aina olemassa neutraalialkio, jonka operaatio joukon alkioiden kanssa säilyttää alkiot muuttumattomina. Lisäksi ryhmässä jokaiselle alkiolle löytyy käänteisalkio, jonka operaatio alkion kanssa tuottaa ryhmän neutraalialkion. Ryhmäteoria on algebran osa-alue, joka tutkii ryhmiä, ryhmiin liittyviä käsitteitä ja näiden välisiä lainalaisuuksia. Eräs keskeinen ryhmiin liittyvä käsite on ryhmän aliryhmä. Aliryhmä on ryhmän osajoukko, joka on itse myös ryhmä. Mikäli aliryhmän kertaluku eli aliryhmän alkioiden lukumäärä on jonkin alkuluvun p potenssi, niin aliryhmää kutsutaan p-aliryhmäksi

Sylowin lauseet ovat äärellisen ryhmäteorian keskeisimpiä tuloksia. Sylowin lauseet takaavat olemassaolon niin sanotuille Sylowin p-aliryhmille, jotka ovat inkluusion suhteen suurimpia mahdollisia ryhmän p-aliryhmiä. Sylowin p-aliryhmien lukumäärä on aina kongruentti luvun 1 kanssa alkuluvun p suhteen. Lisäksi kaikki Sylowin p-aliryhmät ovat aina toistensa konjugaatteja. Tämä tarkoittaa, että kaikki ryhmän Sylowin p-aliryhmät saadaan tuotettua operoimalla mitä tahansa Sylowin p-aliryhmää vasemmalta puolelta ryhmän alkiolla ja oikealta puolelta vastaavalla käänteisalkiolla. Alun perin lauseet todisti norjalainen matemaatikko Ludvig Sylow vuonna 1872, mutta lauseille on esitetty myöhemmin paljon vaihtoehtoisia todistuksia.

Sylowin lauseet tarjoavat osittaisen käänteistuloksen Lagrangen lauseelle. Lagrangen lause kertoo, että ryhmän aliryhmän kertaluku jakaa aina ryhmän kertaluvun. Tämän lauseen käänteinen suunta ei ole yleisesti totta, mutta Sylowin lauseiden avulla voidaan osoittaa, että käänteinen suunta pätee osittain: Jos jokin alkuluvun potenssi jakaa ryhmän kertaluvun, niin tällöin ryhmällä on aliryhmä, jonka kertaluku on tämä alkuluvun potenssi.

Sylowin lauseiden todistamiseen tarvitaan hyvä perusta ryhmäteoriasta, joka nojaa paljolti joukko-oppiin ja lukuteoriaan. Suurin osa tarvittavasta lukuteoriasta liittyy tavalla tai toisella kokonaislukujen jaollisuuteen. Joukko-opista olennaisimpia käsitteitä ovat kuvaukset ja relaatiot. Lisäksi joukko-opin perusteet ovat ryhmäteorian kannalta luonnollisesti olennaisessa osassa, sillä ryhmä on itsessään joukko, jossa on määritelty operaatio joukon alkioiden välille. Ryhmäteorian kulmakivenä on ryhmän määritelmä, jonka päälle rakennetaan uusia käsitteitä. Keskeisiä ryhmäteorian käsitteitä ovat esimerkiksi aliryhmä, tekijäryhmä ja homomorfismi. Näiden lisäksi tärkeä käsite Sylowin lauseiden todistamisessa on ryhmän toiminta, joka on eräänlainen operaatio ryhmän alkioiden ja jonkin joukon alkioiden välillä. Sylowin lauseet voidaan todistaa myös ilman ryhmän toimintaa käyttäen esimerkiksi induktiota.