Murtodifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen

Abstract

Murtodifferentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa esiintyy derivaattoja, joiden kertaluku ei ole kokonaisluku. Tämän kaltaisilla yhtälöillä voidaan mallintaa ilmiöitä, joissa esiintyy muistia. Tällöin ilmiön tuleva käyttäytyminen riippuu sen hetkisen tilanteen lisäksi myös aikaisemmasta käyttäytymisestä. Ilmiöitä, joissa esiintyy muistia, on mahdollista löytää esimerkiksi sähkömagnetismin, kvanttifysiikan ja lääketieteen aloilta.

Tässä työssä tutustutaan murtodifferentiaaliyhtälöiden perusteisiin niin teorian kuin käytännönkin osalta. Teorian osalta esitellään tunnetuimmat määritelmät ja työkalut, jotka ovat myös välttämättömiä numeeristen laskenta-algoritmien ymmärtämisessä. Murtodifferentiaaliyhtälöitä käsiteltäessä murtoderivaatan ja -integraalin määritelmät ovat keskeisiä. Näitä määritelmiä on useita erilaisia ja tässä tutkielmassa lähdetään liikkeelle Riemann-Liouvillen esitystavoista. Käytännön sovellusten kannalta, ja sen vuoksi myös tämän työn keskeisin käsitelty määritelmä, on kuitenkin Caputon derivaatta, joka mahdollistaa luonnollisen tavan käsitellä alkuarvotehtäviä.

Käytännön osuus tässä työssä alustetaan tutustumalla muutamiin eri tapoihin ratkaista tavallisten differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtäviä. Nämä menetelmät toimivat johdantona ja vertailukohtana työssä esiteltäviin murtodifferentiaaliyhtälöiden numeerisiin ratkaisumenetelmiin, jotka johdetaan ja perustellaan yksityiskohtaisesti. Ratkaisumenetelmät tähän työhön on valikoitu siten, että niiden teoreettinen perusteleminen ei vaadi kohtuutonta määrää taustatietoja, mutta kuitenkin niin, että ne ovat käyttökelpoisia ja perustuvat kohtuullisen tuoreeseen tutkimukseen. Kannattaa kuitenkin huomata, että numeerisia ratkaisutekniikoita murtodifferentiaaliyhtälöille on paljon muitakin kuin tässä työssä esitetyt tavat. Vertailtaessa numeerisia ratkaisutekniikoita tavallisille differentiaaliyhtälöille ja murtodifferentiaaliyhtälöille havaittiin, että muisti-ilmiö on läsnä myös siellä ja kasvattaa tarvittavien laskutoimitusten määrää laskennan edetessä kauemmaksi lähtötilanteesta.

Tässä tutkielmassa esiteltyjen menetelmien suoriutumista testataan muutamalla eri malliongelmalla ja suoriutumista mitataan tarkkuuden lisäksi myös nopeudella. Laskenta-algoritmit on ohjelmoitu osana tätä työtä ja ne ovat mukana työn liitteinä. Näiden algoritmien avulla tässä työssä tutkitaan menetelmien suorituskykyä niin tarkkuuden kuin nopeudenkin osalta. Menetelmien vertailu ja tulosten analysointi muodostavat keskeisen osan tätä työtä. Vertailussa käytetään neljää erilaista menetelmää eri askelpituuksilla ja menetelmiä sovelletaan useisiin erityyppisiin testiongelmiin. Saatujen tulosten perusteella voitiin tehdä muutamia erityisen tärkeitä havaintoja. Ensimmäinen merkittävä havainto oli ja on, että murtodifferentiaaliyhtälön kertaluvun kasvattaminen parantaa ratkaisevasti menetelmien tarkkuutta. Toinen tärkeä havainto tulosten perusteella oli, että pienillä muutoksilla algoritmeissa voidaan saavuttaa merkittäviä eroja nopeudessa. Kolmantena keskeisenä havaintona voitaneen pitää sitä, että menetelmien suppenemisnopeudet noudattivat varsin hyvin teoreettista mallia.

A fractional differential equation is a differential equation involving derivatives with a non-integer order. These kind of equations can be useful when modelling phenomena with memory. If the system has a memory effect, not only the present situation affects to the later behaviour, but the history of the system as well.

We familiarize ourselves with the basics of the theory and practise of the fractional differential equations in this work. The most known definitions and tools, that are also crucial for understanding the numerical algorithms, are presented. The most important definition presented, for this work and when dealing with the real life applications, is the Caputo derivative. The Caputo derivative allows to use natural initial conditions which is necessary when solving initial value problems with fractional derivatives.

As an introduction to practise and numerical analysis of fractional differential equations, a couple of numerical methods for initial value problems of ordinary differential equations are given. These methods can be compared with and lead to the numerical methods for solving fractional differential equations presented in this work. These methods are justified with a detailed manner and they are applied to few model problems. The speed and precision of the methods for each of the problems were measured and the results are published in this work. The algorithms for the methods have been programmed as a part of this work and the source codes of these routines can be found as attachments.