Kvanttorit ja suora todistaminen lukion pitkässä matematiikassa

Abstract

Tämä pro gradu -tutkielma on osa isompaa oppikirjaprojektia, jossa pyritään tuottamaan oppimateriaalia laajaan ja vapaaseen käyttöön. Oppimateriaali on suunniteltu lukion pitkän matematiikan kurssille Lukuteoria ja todistaminen (MAA11), jonka sisällöt on jaettu projektiryhmän kesken viiteen pienempään kokonaisuuteen. Tutkielma on järjestyksessä toinen kokonaisuus ja siinä käsitellään kvanttoreita ja suoraa todistamista. Varsinaisen oppimateriaalin muodostavat erilaiset pohdintatehtävät, joita perustellaan erillisessä perusteluosiossa tieteellisten artikkeleiden ja vuoden 2015 lukion opetussuunnitelman perusteiden avulla. Perusteluosiossa esitellään myös koko projektiryhmän kesken yhteisesti päätettyjä pedagogisia lähtökohtia sekä tutustutaan tarkemmin vuosien 2015 ja 2019 opetussuunnitelmien perusteisiin ja koko projektissa yhteisenä lähtökohtana oleviin artikkeleihin. Perustelu- ja kirjaosioiden lisäksi oppimateriaalissa on vielä opettajan opas, jossa ehdotetaan mahdollista tuntijakoa kokonaisuudelle ja annetaan vinkkejä oppimateriaalin käyttämiseen tunneilla.

Oppimateriaali pyrkii noudattamaan lukion opetussuunnitelmien perusteiden asettamia tavoitteita opiskelijoiden aktiivisuudelle ja tiedon rakentamiselle opettamalla teoriaa pohdintatehtävien avulla. Teoriaa annetaan valmiina vain silloin kun se on pohdintatehtävien läpikäymiseksi välttämätöntä. Pohdintatehtäviä on runsaasti ja niiden avulla on tarkoitus käydä läpi koko tunnin asiakokonaisuus. Itse harjoitustehtäviä on vain vähän ja näitä on tarkoitus hyödyntää suurimmilta osin lisä- tai kotitehtävinä itse oppituntien ulkopuolella. Oppimateriaali on pyritty rakentamaan siten, että myös itsenäiseen opiskeluun saa mahdollisimman paljon apuja, mutta parhaan hyödyn pohdinnoista saa luokkahuonetilanteissa syntyvien keskustelujen avulla. Tehtävissä käytetään hyväksi eritoten visuaalisia elementtejä havainnollistamisen keinona ja kiinnitetään huomiota päteviin perustelumenetelmiin. Kvanttoreita käsitellessä painotetaan matematiikan ja luonnollisen kielen välistä yhteyttä, sekä matematiikan tarkasti määrättyä symbolien järjestystä. Todistamisosiossa taas tärkeimmiksi pääkohdiksi asettuvat empiiristen todistusten epäpätevyyden pohtiminen ja vuokaaviotodistukset, jotka helpottavan todistusten jäsentelyä. Usein pohdinnoissa pyydetään myös korjaamaan valmiita ratkaisuja ja väittämiä. Vastaavanlainen tehtävätyyppi on yleistynyt viime vuosina pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa ja näin tutkielma pyrkii alentamaan kynnystä tarttua uudenlaisiin tehtäviin.