Symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus

Abstract

Tämän tutkielman pääaiheina on symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuuden ja ratkeavuuden tarkastelu. Jotta näiden asioiden tarkastelu olisi mahdollista, on tunnettava symmetriset ja alternoivat ryhmät ja tiedettävä jonkin verran niiden ominaisuuksia. Lisäksi on tunnettava permutaatiot, joista edellä mainitut ryhmät koostuvat. Tutkielma eteneekin permutaatioiden ja ryhmien tarkasteluista symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuuden ja ratkeavuuden tarkasteluun.

Permutaatiot ovat lyhyesti sanottuna sellaisia bijektiivisiä kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukot ovat samat. Koska permutaatiot ovat tässä tutkielmassa kaiken pohjana, käytetään niiden tarkasteluun tutkielman alussa melko runsaasti palstatilaa. Siksipä permutaatiota aiemmin kohtaamattomankin on mahdollista päästä juonesta kiinni. Ilman permutaatioiden käyttäytymisen ja ominaisuuksien hyvää ymmärtämistä olisi mahdoton ymmärtää myöskään alternoivien ja symmetristen ryhmien ominaisuuksia.

Kaikista tietyn joukon permutaatioista koostuva ryhmä, joka on nimeltään symmetrinen ryhmä, on toinen tutkielman pääkäsitteistä. Se kulkee mukana tutkielmassa alusta loppuun asti. Sen sijaan symmetrisen ryhmän puolikkaanakin myöhemmin tunnettu alternoiva ryhmä koostuu pelkästään tietyn joukon kaikista parillisista permutaatioista. Erikokoisia symmetrisiä ja alternoivia ryhmiä on olemassa ääretön määrä ja niiden koko riippuu permutoitavan joukon koosta.

Yksinkertaisilla ryhmillä tarkoitetaan sellaisia ryhmiä, joilla on olemassa ainoastaan niin sanotut triviaalit normaalit aliryhmät eli ryhmä itse ja ryhmän neutraalialkion muodostama yhden alkion ryhmä. Ratkeavuuden käsite on hieman monimutkaisempi, mutta sekin liittyy aliryhmiin. Ryhmä on ratkeava, jos sillä on olemassa sellainen aliryhmien ketju, jossa jokainen aliryhmä on tässä ketjussa edellisenä esiintyvän ryhmän normaali aliryhmä. Lisäksi ketjussa peräkkäin esiintyvistä ryhmistä muodostettujen tekijäryhmien kertalukujen tulee olla alkulukuja.

Alternoivien ryhmien yksinkertaisuuden osalta päädytään sellaiseen lopputulokseen, että ne ovat yhtä lukuun ottamatta yksinkertaisia. Sen sijaan alternoivat ryhmät eivät ole ratkeavia kahta pienintä ryhmää lukuun ottamatta. Lopputulokset symmetristen ryhmien osalta ovat, että ne eivät ole yksinkertaisia ja vähintään astetta viisi olevat symmetriset ryhmät eivät myöskään ole ratkeavia.