Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus lukion matematiikassa

Abstract

Tämä Pro gradu -tutkielma on toteutettu osana Oulun yliopiston Avoin oppikirja -projektia, jonka tarkoituksena oli tuottaa opiskelijalähtöinen verkko-oppimateriaali lukion lyhyen sekä pitkän matematiikan geometrian kursseille MAB3 ja MAA3. Tämä tutkielma kattaa yhtenevyyttä ja yhdenmuotoisuutta käsittelevän oppimateriaalin osion, joka soveltuu kokonaisuudessaan käytettäväksi sekä lyhyen että pitkän matematiikan kursseilla. Tutkielman koostuu kolmesta osasta: oppimateriaalin tavoitteista ja perusteluista, opettajan oppaasta sekä varsinaisesta oppimateriaalista.

Oppimateriaali perustuu uuteen, syksyllä 2016 käyttöönotettuun lukion opetussuunnitelmaan, jonka lisäksi oppimateriaalin tavoitteita ohjasivat projektiryhmän yhdessä päättämät yleiset tavoitteet. Koko oppimateriaalille asetetut yhteiset tavoitteet pohjautuvat artikkelissa Habits of Mind: An Organizing Principle for Mathematics Curricula (Cuoco, A., Goldenberg, E. P. & Mark, J., 1996) esiteltyihin ajattelun malleihin tai ”mielen tottumuksiin”, joita tukevat, koko oppikirjassa toistuvat tehtävätyypit valittiin artikkelista Collaborative Learning in Mathematics (Swan, M., 2006). Erityisesti oppimateriaalin haluttiin painottavan opiskelijan omaa oivaltamista sekä käytettyjen ratkaisumenetelmien ja tulosten perustelemista. Tämän vuoksi oppimateriaali sisältääkin paljon pohdintatehtäviä, joiden tarkoituksena on joko johdatella opiskeltaviin aiheisiin tai vahvistaa ja syventää jo opiskellun asian ymmärtämistä. Esimerkiksi kaikki oppimateriaalin sisältämät lauseet johdetaan opiskelijoiden oman tutkimuksen ja pohdinnan kautta.

Tavoitteiden lisäksi tutkielman perusteluosassa esitetään aiempiin tieteellisiin tutkimuksiin pohjautuvat perustelut oppimateriaalin sisällön suhteen tehdyille päätöksille. Perusteluosassa tarkastellaan esimerkiksi aiheen oppimiseen liittyviä vaikeuksia ja harhakäsityksiä, sekä kuinka niitä on pyritty ehkäisemään. Muun muassa yhdenmuotoisuuskuvausten lähtöjoukon sekä kuvioiden ominaisuuksien ja suhteiden säilymisen ymmärtäminen on koettu haastavaksi. Tutkimusten mukaan visuaalisten ja analyyttisten toimintatapojen vuorottelu yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden opiskelussa vahvistaa syvemmän ymmärryksen muodostumista, minkä vuoksi visuaalisuus ja teknisten apuvälineiden hyödyntäminen on vahvasti näkyvissä koko oppimateriaalissa. Opiskelijat esimerkiksi johtavat niin kutsutun kk-lauseen tarkastelemalla itse konstruoimiensa kolmioiden yhdenmuotoisuutta dynaamisen GeoGebra-ohjelmiston avulla.

Tutkielman toisena osana olevaan opettajan oppaaseen on koottu ohjeellinen ajankäyttösuunnitelma, oppimateriaalin kappaleiden keskeisimmät tavoitteet, pohdintatehtävien ja esimerkkien tavoitteet sekä vinkkejä pohdintatehtävien läpikäymiseen. Oppimateriaali löytyy tutkielman kolmannesta osasta, ja se sisältää kaksi kappaletta, joista ensimmäisessä käsitellään yleisesti kuvioiden yhtenevyyttä ja yhdenmuotoisuutta, ja toisessa kolmioiden erityisiä yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseita. Oppimateriaalin lopusta löytyy lisäksi muutama lisätehtävä sekä harjoitustehtävien vastaukset.