Perkolaatio puissa
Savolainen, Miika (2018-04-20)
M. Savolainen
20.04.2018
© 2018 Miika Savolainen. Tämä Kohde on tekijänoikeuden ja/tai lähioikeuksien suojaama. Voit käyttää Kohdetta käyttöösi sovellettavan tekijänoikeutta ja lähioikeuksia koskevan lainsäädännön sallimilla tavoilla. Muunlaista käyttöä varten tarvitset oikeudenhaltijoiden luvan.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201804241517
https://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201804241517
Tiivistelmä
Tutkielman ensimmäisessä luvussa kerrataan todennäköisyyslaskennan perusasioita, jotka lukijan oletetaan tuntevan. Toisessa luvussa määritellään, mikä on puu ja tutustutaan puihin liittyviin käsitteisiin. Erityisen tärkeä puihin liittyvä käsite on haarautumisluku, joka kuvaa sitä kuinka suuri puu on. Haarautumisluku on eräänlainen keskiarvo puun solmujen seuraajien lukumäärälle. Luvun loppupuolella tarkastellaan muutamia tilanteita, joissa haarautumisluvun laskeminen on helppoa.
Kolmas luku käsittelee painotettuja satunnaiskävelyjä puissa. Luvun tärkein kysymys koskee satunnaiskävelyä, joka on painotettu puun juurta kohti jollakin vakiolla C. Millaisissa puissa satunnaiskävely palaa juureen äärettömän monta kertaa melkein varmasti? Osoittautuu, että näin tapahtuu sellaisissa puissa, joiden haarautumisluku on pienempi kuin vakio C. Puissa, joiden haarautumisluku on tätä vakiota suurempi, satunnaiskävely palaa juureen melkein varmasti vain äärellisen monta kertaa.
Neljännessä luvussa perehdytään perkolaatioon. Perkolaatiossa poistetaan osa puun kaarista. Jokaista kaarta tarkastellaan muista riippumattomasti ja se säilytetään puussa jollakin kiinnitetyllä todennäköisyydellä p. Nyt voidaan kysyä, millaisissa puissa on positiivinen todennäköisyys sille, että perkolaation jälkeen puun juureen jää kiinni ääretön alipuu. Haarautumisluku on tärkeä käsite tässäkin tapauksessa. Jos puun haarautumisluku on pienempi kuin 1/p, niin todennäköisyys sille, että alipuu olisi ääretön, on nolla. Jos taas haarautumisluku on suurempi kuin 1/p, niin todennäköisyys on positiivinen.
Luvun 5 aihe on Hausdorffin ulottuvuus. Luvun alussa tarkastellaan puun reunaa, jonka Hausdorffin ulottuvuus osoittautuu puun haarautumisluvun logaritmiksi. Luvun loppupuolella tutustutaan perkolaatioon yksikkökuution [0,1]^n tapauksessa. Puussa ja yksikkökuutiossa tapahtuvilla perkolaatioilla on yhteys. Jokaista yksikkökuutioon perkolaatiossa jäävää joukkoa A vastaa jokin puu. Tämän puun reunan Hausdorffin ulottuvuus on yhtä suuri kuin joukon A ulottuvuus.
Kuudennessa luvussa tutustutaan kapasiteettiin. Sen avulla voidaan ratkaista kysymys, mitä tapahtuu satunnaiskävelylle, jos haarautumisluku ja vakio C ovat yhtä suuret. Vastaus on, että satunnaiskävely palaa juureen vain äärellisen monta kertaa, jos ja vain jos puun reunan kapasiteetti on positiivinen. Tämä on myös yhtäpitävää sen kanssa, että perkolaatiossa on positiivinen todennäköisyys sille, että juureen jää kiinni ääretön alipuu. Luvun loppuosassa todistetaan vielä kapasiteetin avulla muutama tulos liittyen perkolaatioon yksikkökuutiossa.
Kolmas luku käsittelee painotettuja satunnaiskävelyjä puissa. Luvun tärkein kysymys koskee satunnaiskävelyä, joka on painotettu puun juurta kohti jollakin vakiolla C. Millaisissa puissa satunnaiskävely palaa juureen äärettömän monta kertaa melkein varmasti? Osoittautuu, että näin tapahtuu sellaisissa puissa, joiden haarautumisluku on pienempi kuin vakio C. Puissa, joiden haarautumisluku on tätä vakiota suurempi, satunnaiskävely palaa juureen melkein varmasti vain äärellisen monta kertaa.
Neljännessä luvussa perehdytään perkolaatioon. Perkolaatiossa poistetaan osa puun kaarista. Jokaista kaarta tarkastellaan muista riippumattomasti ja se säilytetään puussa jollakin kiinnitetyllä todennäköisyydellä p. Nyt voidaan kysyä, millaisissa puissa on positiivinen todennäköisyys sille, että perkolaation jälkeen puun juureen jää kiinni ääretön alipuu. Haarautumisluku on tärkeä käsite tässäkin tapauksessa. Jos puun haarautumisluku on pienempi kuin 1/p, niin todennäköisyys sille, että alipuu olisi ääretön, on nolla. Jos taas haarautumisluku on suurempi kuin 1/p, niin todennäköisyys on positiivinen.
Luvun 5 aihe on Hausdorffin ulottuvuus. Luvun alussa tarkastellaan puun reunaa, jonka Hausdorffin ulottuvuus osoittautuu puun haarautumisluvun logaritmiksi. Luvun loppupuolella tutustutaan perkolaatioon yksikkökuution [0,1]^n tapauksessa. Puussa ja yksikkökuutiossa tapahtuvilla perkolaatioilla on yhteys. Jokaista yksikkökuutioon perkolaatiossa jäävää joukkoa A vastaa jokin puu. Tämän puun reunan Hausdorffin ulottuvuus on yhtä suuri kuin joukon A ulottuvuus.
Kuudennessa luvussa tutustutaan kapasiteettiin. Sen avulla voidaan ratkaista kysymys, mitä tapahtuu satunnaiskävelylle, jos haarautumisluku ja vakio C ovat yhtä suuret. Vastaus on, että satunnaiskävely palaa juureen vain äärellisen monta kertaa, jos ja vain jos puun reunan kapasiteetti on positiivinen. Tämä on myös yhtäpitävää sen kanssa, että perkolaatiossa on positiivinen todennäköisyys sille, että juureen jää kiinni ääretön alipuu. Luvun loppuosassa todistetaan vielä kapasiteetin avulla muutama tulos liittyen perkolaatioon yksikkökuutiossa.
Kokoelmat
- Avoin saatavuus [29905]